2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差

本题导读

本题考查数列的递推关系。核心在于由 S_n 递推消元求通项。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_n$，$a_1=1$，$a_{n+1}=2S_n+1$（$n⩾1$）．

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 等差数列 $\{b_n\}$ 的各项为正，其前 $n$ 项和为 $T_n$，且 $T_3=15$，又 $a_1+b_1$，$a_2+b_2$，$a_3+b_3$ 成等比数列，求 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 由 $a_{n+1}=2S_n+1$、$a_n=2S_{n-1}+1$（$n⩾2$）相减：$a_{n+1}-a_n=2a_n$，即 $a_{n+1}=3a_n$。
2. 又 $a_2=2S_1+1=3=3a_1$，故 $\{a_n\}$ 是首项 $1$、公比 $3$ 的等比数列，$a_n=3^{n-1}$。
3. (2) 设 $b_1=u$、公差 $d$。由 $T_3=15$：$3u+3d=15$，即 $u+d=5$。
4. $a_1=1,a_2=3,a_3=9$，三数成等比：$(3+u+d{)}^2=(1+u)(9+u+2d)$，代入 $d=5-u$ 得 $u^2-18u+45=0$。
5. 解 $u=3$ 或 $15$；$u=15$ 时 $d=-10$，$b_3=-5<0$ 舍，故 $u=3,d=2$。
6. $T_n=n[2u+(n-1)d]/2=n(6+2n-2)/2=n^2+2n$。

✅【答案】

Success

(1) $a_n=3^{n-1}$

(2) $T_n=n^2+2n$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $a_{n+1}=2S_n+1$（$n⩾1$），当 $n⩾2$ 时又有 $a_n=2S_{n-1}+1$，两式相减得 $a_{n+1}-a_n=2(S_n-S_{n-1})=2a_n,$ 即 $a_{n+1}=3a_n$（$n⩾2$）． 又 $a_2=2S_1+1=2a_1+1=3=3a_1$，所以对任意 $n⩾1$ 都有 $a_{n+1}=3a_n$． 故 $\{a_n\}$ 是首项 $a_1=1$、公比 $3$ 的等比数列，通项为 $a_n=3^{n-1}.$

（2）设等差数列 $\{b_n\}$ 的首项 $b_1=u$、公差为 $d$． 由 $T_3=15$ 得 $3u+3d=15$，即 $u+d=5$． 由（1）知 $a_1=1$、$a_2=3$、$a_3=9$，又 $a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3$ 成等比数列，故 $(a_2+b_2{)}^2=(a_1+b_1)(a_3+b_3)⟺(3+u+d{)}^2=(1+u)(9+u+2d).$ 利用 $d=5-u$ 代入，得 $(8{)}^2=(1+u)(19-u)$，即 $64=19+18u-u^2⟺u^2-18u+45=0,$ 解得 $u=3$ 或 $u=15$． 当 $u=15$ 时 $d=5-15=-10$，此时 $b_3=15-20=-5<0$，与”各项为正”矛盾，舍去； 故 $u=3$、$d=2$． 于是 $T_n=\frac{n}{2}[2u+(n-1)d]=\frac{n}{2}[6+2(n-1)]=\frac{n}{2}(2n+4)=n^2+2n.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：Sn递推求通项与等差

核心方法：(1) $a_{n+1}=2S_n+1$ 与 $a_n=2S_{n-1}+1$ 相减得 $a_{n+1}=3a_n$，等比通项 $a_n=3^{n-1}$；(2) 设 $b_1=u,d$，由 $T_3=15$ 得 $u+d=5$，三数成等比列式解 $u=3,d=2$，$T_n=n^2+2n$

避坑指南：$a_{n+1}-a_n=2a_n$ 得 $a_{n+1}=3a_n$ 而非 $2a_n$；$u=15$ 时 $b_3<0$ 舍去

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: $S_n$ 与 $a_n$ 递推关系

结论推广: $a_n=S_n-S_{n-1}(n⩾2)$

方法推广: 两式相减消 $S_n$ 得 $a_n$ 递推，再判等比

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-17 解-Sn与通项及等差中项
• 2013-湖北卷文-19 解-等比数列奇偶和
• 2010-浙江卷文-05 单-等比数列求和比
• 2013-福建卷文-17 解-等差数列基本量