2001-豫粤卷-15 填-等比数列的前n项和公式

本题导读

本题考查等比数列的前n项和公式，以及等差数列的定义与判定。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 设 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列， $S_n$ 是它的前 $n$ 项和.若 $\{S_n\}$ 是等差数 列，则 q = $$\underline{\quad\quad\quad}.

🔍【思路分析】

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1. 利用等差数列基本项进行约束：若一个新序列 $\{S_n\}=\{S_1,S_2,S_3,\dots \}$ 构成等差数列，则它必须满足任意相邻两项的差值恒为定值。
2. 提取前三项建立方程：

• 依据等差中项性质，前三项必满足： $S_1+S_3=2S_2$。
• 将等比数列的前几项用首项 $a_1$ 和公比 $q$ 显式表达： $S_1=a_1$， $S_2=a_1+a_{1}q$， $S_3=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2$。

3. 因式分解求解公比：将各项代入等差中项方程中，消去非零首项 $a_1$，解出关于 $q$ 的代数方程。
4. 进行全局一般化论证：通过通项公式验证算出的 $q$ 值能否让全体 $\{S_n\}$ 均严格满足等差数列，确保解的完备性。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

通过局部前三项的等差中项关系建模 因为 $\{S_n\}$ 是等差数列，根据等差数列的定义，其余项必满足相邻项差值相等，即： $S_2-S_1=S_3-S_2⟹S_1+S_3=2S_2\text{(1)}$

设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q$。由于等比数列的定义要求首项 $a_1\ne 0$ 且公比 $q\ne 0$。 根据前 $n$ 项和的几何累加：

• $S_1=a_1$

• $S_2=a_1+a_2=a_1+a_{1}q$

• $S_3=a_1+a_2+a_3=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2$

代入方程消元求出 $q$ 值 将上述 $S_1,S_2,S_3$ 的表达式代入等差中项等式 ① 中： $a_1+\left(a_1+a_{1}q+a_1{q}^2\right)=2\left(a_1+a_{1}q\right)$ 展开并整理等式左、右两端： $2a_1+a_{1}q+a_1{q}^2=2a_1+2a_{1}q$ 两边同时消去公共常数项 $2a_1$： $a_{1}q+a_1{q}^2=2a_{1}q$ 移项合并同类项，提取公因式： $a_1{q}^2-a_{1}q=0⟹a_{1}q(q-1)=0$

因为 $\{a_n\}$ 是标准等比数列，其首项 $a_1\ne 0$ 且公比 $q\ne 0$。因此，等式两边可同时安全地约去各项： $a_{1}q\ne 0⟹q-1=0⟹q=1$

全局完备性验证 当 $q=1$ 时，原等比数列退化为常数数列： $a_n=a_1$。 此时其前 $n$ 项和为： $S_n=n\cdot a_1$ 观察序列 $\{S_n\}=\{a_1,2a_1,3a_1,\dots ,n\cdot a_1\}$： 任取相邻两项做差： $S_{n+1}-S_n=(n+1)a_1-n{a}_1=a_1(\text{常数})$ 这表明当 $q=1$ 时，前 $n$ 项和序列 $\{S_n\}$ 确实构成一个以 $a_1$ 为首项、 $a_1$ 为公差的等差数列，完全符合题意。

1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列相邻项差值为定值的基本判定法则；等比数列在 $q=1$ 边界条件下的和式退化特征。
2. 核心方法：特殊项外推法（局部中项判定法）。
3. 避坑指南：

• 公式盲目套用陷阱：部分学生一看到“等比数列前 $n$ 项和”，就盲目套用 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 这个公式。由于该公式在推导时默认了分母 $1-q\ne 0$，导致在后续代数变形中把真正的解 $q=1$ 当作非法分母给直接屏蔽掉，从而误认为此题无解。处理等比数列和式问题，必须在脑海中对 $q=1$ 和 $q\ne 1$ 建立双轨分类审视意识．

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于数列板块非常经典的概念互化性质填空题，取材于高中数学教材“等比数列的前n项和”章节关于公比 $q=1$ 特殊边界状态讨论的课后启发式思维训练题。
2. 结论推广： 本题在高等代数层面上属于关于**“数列算子差分不变量的退化齐次解”**。 定义前向差分算子 $\Delta X_n=X_{n+1}-X_n$。 已知 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的和序列，由微积分基本定理的离散形式（通项与和的关系）恒有： $\Delta S_n=S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 题目要求 $S_n$ 是等差数列，这意味着对 $S_n$ 进行一阶差分后必须得到一个常数数列，即： $\Delta S_n=a_{n+1}\equiv d(\text{常数})$ 这表明原数列 $\{a_n\}$ 必须是一个从第二项开始的常数数列。又已知 $\{a_n\}$ 整体是个公比为 $q$ 的等比数列，一个非零等比数列要想恒为常数数列，其公比 $q$ 必须有且仅有唯一不变量解： $q\equiv 1$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 1977-吉林-09 解-等比数列求公比