2002-大纲理-20 解-数列递推关系与通项公式

本题导读

本题考查递推数列通项公式的求解以及不等式恒成立问题。核心意图在于测试学生将实际应用问题（汽车保有量动态变化）转化为数学中“一阶线性递推数列”模型的能力，并通过讨论通项的单调性与极限状态来确定参数临界范围。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（构建递推模型）：设 2001 年末汽车保有量为 $a_0=30$（万辆）。设每年新增汽车数量为 $x$（万辆）。根据“当年末量 = 上年末量 $\times (1-6\%)+$ 新增量”，列出相邻两年的递推关系式： $a_n=0.94a_{n-1}+x$。
2. 第二步（求出通项公式）：利用待定系数法（构造等比数列法）对递推式 $a_n=0.94a_{n-1}+x$ 进行变形，求出关于 $n$ 和 $x$ 的通项公式 $a_n$。
3. 第三步（分析最值与极限）：题目要求对任意的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，恒有 $a_n\le 60$。分析通项公式的单调性，随着时间 $n\to \infty$，数列将趋向于其极限值，由极限值不超过 60 或数列项的最大值不超过 60 列出关于 $x$ 的不等式求解。

✅【答案】

Success

每年新增汽车数量不应超过 $3.6$ 万辆

✍【详细解析】

Abstract

设 2001 年末该城市的汽车保有量为 $a_0=30$（万辆）。 设每年新增汽车数量为 $x$（万辆），设 $a_n$ 表示 2001 年后第 $n$ 年末的汽车保有量。

第一步：建立递推关系式 根据题意，每年的报废率为 $6\%$，则维持率为 $1-6\%=94\%$，加上每年固定新增的 $x$ 万辆，可得： $a_n=0.94a_{n-1}+x(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$

第二步：求数列的通项公式 引入待定系数 $\lambda$，将递推式变形为： $a_n-\lambda =0.94(a_{n-1}-\lambda )$ 展开得 $a_n=0.94a_{n-1}+0.06\lambda$，对照原式 $a_n=0.94a_{n-1}+x$，令： $0.06\lambda =x⟹\lambda =\frac{x}{0.06}=\frac{50}{3}x$

因此，数列 $\{a_n-\frac{50}{3}x\}$ 是以 $a_0-\frac{50}{3}x=30-\frac{50}{3}x$ 为首项，公比 $q=0.94$ 的等比数列。 根据等比数列通项公式： $a_n-\frac{50}{3}x=\left(30-\frac{50}{3}x\right)\cdot (0.94{)}^n$ 移项得通项公式： $a_n=\frac{50}{3}x+\left(30-\frac{50}{3}x\right)\cdot (0.94{)}^n$

第三步：利用不等式恒成立求解参数范围 题目要求该城市汽车保有量任何时候都不能超过 60 万辆，即： $\text{对任意 }n\in {\mathbf{N}}^{\ast }\text{，恒有 }{a}_n\le 60$

代入通项公式进行分析：

• 若 $30-\frac{50}{3}x\ge 0$（即 $x\le 1.8$）： 由于 $0<0.94<1$，随着 $n$ 的增大， $(0.94{)}^n$ 单调递减，此时整个数列 $a_n$ 单调递减。 其最大值为首项 $a_0=30\le 60$，此情况下隐性条件自然满足。
• 若 $30-\frac{50}{3}x<0$（即 $x>1.8$）： 由于 $(0.94{)}^n$ 逐渐趋近于 0，负项的绝对值越来越小，因此整个数列 $a_n$ 单调递增。 要使 $a_n\le 60$ 恒成立，只需其上确界（极限值）不超过 60： ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\frac{50}{3}x\le 60$

解该不等式得： $x\le 60\times \frac{3}{50}=3.6\text{ 万辆}$

因为 $3.6\text{ 万辆}=36000\text{ 辆}$。

答：每年新增汽车数量不应超过 36000 辆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由一阶线性递推式构造等比数列；递推数列的长期极限行为分析。
2. 核心方法：构造辅助数列法、极限边界控制法。
3. 避坑指南：

• 单位转换混淆陷阱：方程计算过程中采用的单位是“万辆”，最终结论要求算出的是“多少辆”。如果直接回答 3.6 辆或 3.6 万辆，可能不符合题目问句的精确计数要求，务必乘上 10000 转换成“36000辆”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考经典的数列应用大题，其数学本质是离散动态系统中的稳态解问题，广泛应用在环境经济学和人口学模型中。
2. 结论推广： 对于所有满足一阶线性递推关系 $x_n=p{x}_{n-1}+q(0<p<1,q>0)$ 的系统，当时间趋于无穷时，系统的状态均会收敛于一个与初始状态无关的常数平衡值（稳态截距）： $x_{\text{steady}}=\frac{q}{1-p}$ 本题中，只需直接令系统的最终稳态值 $\frac{x}{1-0.94}\le 60⟹\frac{x}{0.06}\le 60⟹x\le 3.6$，即可无需书写繁琐的通分和构造过程，5秒内完成核心逻辑判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-湖北文-20 解-数列通项与裂项求和
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项