2003-广东卷-04 单-等差数列的通项公式

本题导读

本题主要考查等差数列通项公式及基本性质的应用。通过已知条件建立关于首项和公差的方程，求出公差后，利用通项公式建立关于项数 $n$ 的一元一次方程，从而计算出具体项数。

📌【题干】

Question

（2003年广东卷） 等差数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1=\frac{1}{3}$，$a_2+a_5=4$，$a_n=33$，则 $n$ 为()

A. 48　　　　　　　B. 49　　　　　　　C. 50　　　　　　　D. 51

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本量表达：设等差数列的公差为 $d$。根据通项公式将 $a_2$ 和 $a_5$ 用 $a_1$ 和 $d$ 表示。

2. 求解公差 $d$：将 $a_1=\frac{1}{3}$ 代入关于 $a_2+a_5=4$ 的方程，求出公差 $d$ 的值。

3. 计算项数 $n$：利用通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，将 $a_n=33$ 及已求出的 $a_1,d$ 代入，解出未知数 $n$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。

根据等差数列通项公式，有： $a_2=a_1+d$ $a_5=a_1+4d$

代入已知条件 $a_2+a_5=4$ 得： $(a_1+d)+(a_1+4d)=4⟹2a_1+5d=4$

将 $a_1=\frac{1}{3}$ 代入上式中： $2\times \frac{1}{3}+5d=4$ $\frac{2}{3}+5d=4⟹5d=4-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$

两边同除以 5，解得公差： $d=\frac{2}{3}$

已知 $a_n=33$，根据通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 列出方程： $33=\frac{1}{3}+(n-1)\times \frac{2}{3}$

方程两边同时乘以 3 以消去分母： $99=1+2(n-1)$ $99=1+2n-2$ $99=2n-1$ $2n=100⟹n=50$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，方程思想在数列计算中的基础应用。

2. 核心方法：基本量法（知三求二）。利用首项 $a_1$ 和公差 $d$ 这一组核心基本量控制整个数列的所有项。

3. 避坑指南：在解分式方程 $33=\frac{1}{3}+(n-1)\frac{2}{3}$ 时，两边同乘以 3 时注意左边的 $33$ 也要乘以 3 变成 $99$，避免因粗心导致计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中等差数列章节的最基础运算习题，主要考查考生对基本公式的熟练程度与代数方程的求解能力。
2. 结论推广: 在任意等差数列 $\{a_n\}$ 中，若已知 $a_1$ 且 $a_p+a_q=S$，则公差 $d=\frac{S-2a_1}{p+q-2}$。本题中 $p=2,q=5,S=4,a_1=\frac{1}{3}$，代入即可直接得到 $d=\frac{4-2/3}{2+5-2}=\frac{10/3}{5}=\frac{2}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 1987-广东文-25 单-等差数列的通项