2004-全国卷IV理-06 单-等差数列的性质

本题导读

本题考查等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 等差数列 $\{a_n\}$ 中， $a_1+a_2+a_3=-24$， $a_{18}+a_{19}+a_{20}=78$，则此数列前 20 项和等于 ()

A. 160　　　　　　B. 180　　　　　　C. 200　　　　　　D. 220

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用等差中项化简已知条件：
   • 由 $a_1+a_3=2a_2$，已知条件 $a_1+a_2+a_3=-24$ 可以整体缩拢为 $3a_2=-24⟹a_2=-8$。
   • 同理，由 $a_{18}+a_{20}=2a_{19}$，已知条件 $a_{18}+a_{19}+a_{20}=78$ 可以缩拢为 $3a_{19}=78⟹a_{19}=26$。
2. 结合求和公式整体代换：
   • 数列前 20 项和的倒序相加对称公式为 $S_{20}=\frac{20(a_1+a_{20})}{2}=10(a_1+a_{20})$。
   • 根据等差数列下标和性质，由于 $1+20=2+19=21$，所以恒有 $a_1+a_{20}=a_2+a_{19}$。直接代入步骤 1 算出的 $a_2$ 与 $a_{19}$ 即可秒杀。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，根据等差中项性质 $a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n$，可将已知两组条件分别化简：

由 $a_1+a_3=2a_2$，代入第一个已知条件得： $(a_1+a_3)+a_2=-24⟹2a_2+a_2=-24⟹3a_2=-24⟹a_2=-8$

由 $a_{18}+a_{20}=2a_{19}$，代入第二个已知条件得： $(a_{18}+a_{20})+a_{19}=78⟹2a_{19}+a_{19}=78⟹3a_{19}=78⟹a_{19}=26$

根据等差数列的性质，若下标满足 $i+j=k+l$，则对应的项满足 $a_i+a_j=a_k+a_l$。 由于 $1+20=2+19=21$，所以： $a_1+a_{20}=a_2+a_{19}=-8+26=18$

根据等差数列前 $n$ 项和的标准公式： $S_{20}=\frac{20(a_1+a_{20})}{2}=10(a_1+a_{20})$ 将 $a_1+a_{20}=18$ 整体代入求和公式中： $S_{20}=10\times 18=180$

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差中项定理、等差数列下标和性质（$a_i+a_j=a_{i+k}+a_{j-k}$）、前 $n$ 项和公式的倒序求和形式。
2. 核心方法：整体代换法、对称转化法。
3. 避坑指南：
   • 切忌采用传统的 $a_1$ 和 $d$ 基本量联立方程硬算。如果设未知数写成 $\{\begin{array}{l}3a_1+3d=-24\\ 3a_1+54d=78\end{array}$，虽然也能解出 $d=2,a_1=-10$，进而算得 $S_{20}$，但在选择题中会耗费过多的算力与时间，极大增加因粗心算错的概率。
   • 计算下标和时，务必核对好 $2+19=21$ 与 $1+20=21$ 的完全对等性，确保性质的使用严谨正确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高阶等差数列基本性质的应用考核。
2. 结论推广: 一般地，若已知等差数列开头连续三项和为 $S_{\text{head}}$，末尾连续三项和为 $S_{\text{tail}}$，则该数列前 $n$ 项和满足通用秒杀公式： $S_n=\frac{n(S_{\text{head}}+S_{\text{tail}})}{6}$。直接带入本题： $S_{20}=\frac{20\times (-24+78)}{6}=\frac{20\times 54}{6}=20\times 9=180$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 2013-广东卷理-12 填-等差数列性质