2004-重庆理-09 单-等差数列前n项和

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和的正负判定，以及等差数列的单调性。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 若数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，首项 $a_1>0$，$a_{2003}+a_{2004}>0$，$a_{2003}\cdot a_{2004}<0$，则使前 $n$ 项和 $S_n>0$ 成立的最大自然数 $n$ 是 ()

A. $4005$　　　　　B. $4006$　　　　　C. $4007$　　　　　D. $4008$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $a_1>0$ 且 $a_{2003}\cdot a_{2004}<0$，先判定 $a_{2003}$ 与 $a_{2004}$ 的符号：若 $a_{2003}<0<a_{2004}$，则公差 $d>0$，推出 $a_1<0$，矛盾，故 $a_{2003}>0>a_{2004}$。
2. 设 $a_{2003}=u>0$，$a_{2004}=-v<0$（$u>v>0$），结合 $a_{2003}+a_{2004}>0$ 写出 $a_1$ 与公差 $d$。
3. 由 $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$ 且 $n>0$，把 $S_n>0$ 转化为 $a_1+a_n>0$，解得 $n-1$ 的范围，取其最大整数即得 $n$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

若 $a_{2003}<0<a_{2004}$，则公差 $d=a_{2004}-a_{2003}>0$，从而 $a_1=a_{2003}-2002d<0$，与 $a_1>0$ 矛盾，故必有 $a_{2003}>0>a_{2004}$。 结合 $a_{2003}+a_{2004}>0$，设 $a_{2003}=u>0$，$a_{2004}=-v<0$，则 $u>v>0$。 于是公差 $d=a_{2004}-a_{2003}=-(u+v)$，首项 $a_1=a_{2003}-2002d=u+2002(u+v)=2003u+2002v$。 由 $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$ 且 $n>0$，得 $S_n>0⟺a_1+a_n>0⟺2a_1+(n-1)d>0$。 代入 $a_1$、$d$ 的表达式，得： $n-1<\frac{2a_1}{-d}=\frac{2(2003u+2002v)}{u+v}=4004+\frac{2u}{u+v}$ 因 $u>v>0$，有 $\frac{1}{2}<\frac{u}{u+v}<1$，故： $4005<4004+\frac{2u}{u+v}<4006$ 所以满足 $S_n>0$ 的最大整数满足 $n-1=4005$，即 $n$ 的最大值为 $4006$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列前 $n$ 项和的正负判定，以及等差数列单调性与下标和性质。
2. 核心方法：由 $a_1>0$ 与相邻两项乘积为负先定出 $a_{2003}>0>a_{2004}$，再设参放缩。
3. 避坑指南：$S_n>0⟺a_1+a_n>0$（因 $n>0$），切莫把 $n$ 与 $n-1$ 混淆；求出的 $n-1$ 范围要转化为 $n$ 的最大整数再作答。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差数列前 $n$ 项和的正负判断，出自教材”数列”一章的基础应用。
2. 结论推广: 一般地，$S_n>0⟺a_1+a_n>0$（$n>0$），可借助下标和性质 $a_1+a_n=a_i+a_j$（当 $1+n=i+j$）整体转化，不必逐项求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV理-06 单-等差数列的性质
• 2005-浙江卷理-01 单-等差数列求和公式
• 2006-重庆卷理-02 单-等差数列前 n 项和公式