2005-浙江卷理-01 单-等差数列求和公式

本题导读

本题核心考查等差数列的前 $n$ 项和公式以及多项式比值的无穷极限计算。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+2+3+\cdots +n}{n^2}=($\quad\quad$)$

A. 2　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. 0

🔍【思路分析】

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1. 简化分子：分子 $1+2+3+\cdots +n$ 是首项为 1、公差为 1 的等差数列前 $n$ 项和，利用求和公式化简。
2. 带入极限式：将求和结果 $\frac{n(n+1)}{2}$ 代入原极限式中。
3. 求极限：计算分式多项式在 $n\to \infty$ 时的极限值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 首先利用等差数列求和公式化简分子： $1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n$

将求和结果代入原极限式： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+2+3+\cdots +n}{n^2}={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2+n}{2n^2}$

分子与分母同除以最高次项 $n^2$： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列求和通式、抓最高次项求无穷极限。
2. 核心方法：分子多项式化归法。
3. 避坑指南：不可对分子各项单独直接求极限（即误认为 $\lim \frac{1}{n^2}+\lim \frac{2}{n^2}+\cdots =0$），因为无限个无穷小量相加的结果不一定为 0，必须先整体求和化简再取极限。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第二册“数列”与微积分初步中关于级数与极限的经典交汇基础题。 2.结论推广: 推广至高次幂求和极限，由定积分定义或定积分公式可知： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1^k+2^k+\cdots +n^k}{n^{k+1}}={\int }_0^1{x}^k\text{d}x=\frac{1}{k+1}$。本题即为 $k=1$ 时的特例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)