2003-全国卷理-22甲 解-数列的递推与归纳推理

本题导读

本题核心考查具有特殊生成机制的数列规律探究与三角形数表的归纳综合应用。解题关键在于深刻理解集合元素 $2^s+2^t$ 的组合本质（映射为特殊的二进制数结构），找出三角形数表的行数、每行项数与数列下标的对应关系，并利用等差数列求和公式锁定目标项所在的精确行与列，完成定量求解。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 22.【甲】 设 $\{a_n\}$ 是集合 $\{2^s+2^t\mid 0\le s<t\text{ 且 }s,t\in \mathbf{Z}\}$ 中所有的数从小到大排列成的数列，即 $a_1=3,a_2=5,a_3=6,a_4=9,a_5=10,a_6=12,\cdots$. 将数数列 $\{a_n\}$ 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

$$\begin{array}{c}3\\ 56\\ 91012\\ ----\\ \cdots \cdots \end{array}$$

(1) 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

(2) 求 $a_{100}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：解析数列规律与行数映射
   • 观察集合元素 $2^s+2^t$ ($0\le s<t$) 的本质：
     • 当 $t=1$ 时， $s=0⟹2^0+2^1=3$（对应第1行，共1个数）；
     • 当 $t=2$ 时， $s=0,1⟹2^0+2^2=5,2^1+2^2=6$（对应第2行，共2个数）；
     • 当 $t=3$ 时， $s=0,1,2⟹2^0+2^3=9,2^1+2^3=10,2^2+2^3=12$（对应第3行，共3个数）。
   • 由此可归纳出：三角形数表的第 $k$ 行各项即为 $t=k$ 时对应的组合数，其自左向右随 $s$ 的增大（$s=0,1,\dots ,k-1$）而单调递增，且第 $k$ 行共有 $k$ 个数。
2. 第二步逻辑：定点推导第四、五行
   • 依据上述规律，第四行对应 $t=4$， $s=0,1,2,3$；第五行对应 $t=5$， $s=0,1,2,3,4$，代入公式计算各项具体代数数值。
3. 第三步逻辑：锁定 $a_{100}$ 的行列空间位置

   • 三角形数表前 $n$ 行包含的项数总和为 $S_n=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$。

   • 寻找临界行数 $n$，使得 $S_{n-1}<100\le S_n$，从而确定 $a_{100}$ 位于第几行、第几列。

   • 代入对应的 $(t,s)$ 组合公式计算出最终的精确数值。

✅【答案】

Success

(1) 第四行：$17,18,20,24$；第五行：$33,34,36,40,48$

(2) $a_{100}=16640$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数

根据已知集合的元素结构 $2^s+2^t$ 且 $0\le s<t$，将各项转化为二进制结构更易观察其大小：

• 第 1 行： $t=1,s=0⟹2^0+2^1=3$
• 第 2 行： $t=2,s=0,1⟹2^0+2^2=5,2^1+2^2=6$
• 第 3 行： $t=3,s=0,1,2⟹2^0+2^3=9,2^1+2^3=10,2^2+2^3=12$

通过归纳推理可知，数表的第 $k$ 行各项对应固定的指数 $t=k$，而 $s$ 按照从 $0$ 到 $k-1$ 的顺序从左到右单调递增排列。第 $k$ 行共有 $k$ 个数。

• 第四行各数（对应 $t=4,s=0,1,2,3$）：
  • 当 $s=0$ 时， $2^0+2^4=1+16=17$
  • 当 $s=1$ 时， $2^1+2^4=2+16=18$
  • 当 $s=2$ 时， $2^2+2^4=4+16=20$
  • 当 $s=3$ 时， $2^3+2^4=8+16=24$ 所以，第四行各数依次为：$17,18,20,24$。
• 第五行各数（对应 $t=5,s=0,1,2,3,4$）：

  • 当 $s=0$ 时， $2^0+2^5=1+32=33$

  • 当 $s=1$ 时， $2^1+2^5=2+32=34$

  • 当 $s=2$ 时， $2^2+2^5=4+32=36$

  • 当 $s=3$ 时， $2^3+2^5=8+32=40$

  • 当 $s=4$ 时， $2^4+2^5=16+32=48$ 所以，第五行各数依次为：$33,34,36,40,48$。

(2) 求 $a_{100}$

因为三角形数表的第 $k$ 行有 $k$ 个数，所以前 $n$ 行共有项数： $S_n=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

为了确定 $a_{100}$ 所在的精确位置，建立不等式组： $\frac{(n-1)n}{2}<100\le \frac{n(n+1)}{2}$

进行估算：

• 当 $n=13$ 时， $S_{13}=\frac{13\times 14}{2}=91$
• 当 $n=14$ 时， $S_{14}=\frac{14\times 15}{2}=105$

由于 $91<100\le 105$，说明数列的第 $100$ 项 $a_{100}$ 位于该三角形数表的第 $14$ 行。 其具体的列数（即在第 14 行中从左向右数的位置）为： $\text{列数}=100-S_{13}=100-91=9$

根据第一问推导出的行列指数映射规律：

• 第 $14$ 行对应： $t=14$
• 每一行中的第几列即为指数 $s$ 的值加 $1$（因 $s$ 从 $0$ 开始计数）。 所以第 $9$ 列对应： $s=9-1=8$

将 $t=14,s=8$ 代入集合通式 $2^s+2^t$ 中： $a_{100}=2^8+2^{14}$

计算具体的指数幂结果： $2^8=256$ $2^{14}=16384$ $a_{100}=256+16384=16640$

答： $a_{100}$ 的值为 $16640$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形数表的双层下标递推判定，等差数列前 $n$ 项和公式的逆向边界估计，初等数论中的二进制基底组合律。
2. 核心方法：结构映射法。通过将代数表达式 $2^s+2^t$ 的离散增长性转化为三角形数表的行、列排布，实现降维化简。
3. 避坑指南：

   • 确定 $s$ 的指数时极其容易发生“多 1 或少 1”的计数失误。必须明确，第 $n$ 行的第一列对应的指数是 $s=0$，因此第 $9$ 列对应的指数必须是 $s=8$，而非 $s=9$。

   • 在计算高次幂 $2^{14}$ 时需细心，可由 $2^{10}=1024$ 递推 $1024\times 16=16384$，避免心算失误导致最终结果错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属归纳推理与新定义数列交汇的压轴解答题。集合 $\{2^s+2^t\}$ 对应着所有二进制表示中恰有两个数位为 1 的正整数，按大小排序正好构成本题的三角形数表。
2. 结论推广: 将本题模型一般化：设集合由恰有 $m$ 个非零位组成的 $a$ 进制数构成，即 $A=\{{\sum }_{i=1}^m{a}^{p_i}\mid 0\le p_1<p_2<\cdots <p_m,p_i\in \mathbf{Z}\}$，当 $m=2,a=2$ 时即退化为本题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 1977-河南-10 解-电线杆运输等差问题