2004-江苏卷-20 解-等差数列前n项和

本题导读

本题考查等差数列的前 项和公式。核心在于方程求值法、多项式恒等变形消元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 设无穷等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.

(1) 若首项 $a_1=\frac{3}{2}$，公差 $d=1$，求满足 $S_{k^2}=(S_k{)}^2$ 的正整数 $k$；

(2) 求所有的无穷等差数列 $\{a_n\}$，使得对于一切正整数 $k$ 都有 $S_{k^2}=(S_k{)}^2$ 成立.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问逻辑：根据等差数列求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，代入 $a_1=\frac{3}{2},d=1$。
   • 化简得到 $S_n=\frac{1}{2}{n}^2+n$。
   • 顺次写出二阶复合项 $S_{k^2}=\frac{1}{2}(k^2{)}^2+k^2=\frac{1}{2}{k}^4+k^2$。
   • 写出右侧平方项 $(S_k{)}^2={\left(\frac{1}{2}{k}^2+k\right)}^2=\frac{1}{4}{k}^4+k^3+k^2$。
   • 联立方程 $S_{k^2}=(S_k{)}^2$，两边消元化简得到关于 $k$ 的一元高次方程，提取正整数解。
2. 第(2)问逻辑：设通用无穷等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$。
   • 写出标准的通式 $S_n=\frac{d}{2}{n}^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n$。为了化简便于书写，可设 $S_n=A{n}^2+Bn$，其中 $A=\frac{d}{2},B=a_1-\frac{d}{2}$。
   • 将通式分别代入目标恒等式两端，写出关于自变量 $k$ 的多项式。
   • 题目要求“对于一切正整数 $k$ 都有成立”，由多项式恒等定理（无界离散点集相等蕴含各次幂系数完整全等），令左右两侧相同次数幂的系数对应相等，建立关于 $A,B$ 的复杂方程组，求出参数组合，进而反演恢复出数列 $a_1,d$ 的全解集。

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✅【答案】

Success

(1) $k=4$

(2) $a_n=0$，$a_n=1$，或 $a_n=2n-1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 若首项 $a_1=\frac{3}{2}$，公差 $d=1$，求满足 $S_{k^2}=(S_k{)}^2$ 的正整数 $k$ 将已知参量 $a_1=\frac{3}{2},d=1$ 代入等差数列前 $n$ 项和公式中： $S_n=n\cdot \frac{3}{2}+\frac{n(n-1)}{2}\times 1=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}{n}^2-\frac{1}{2}n=\frac{1}{2}{n}^2+n\text{（式1）}$

根据（式1）的函数映射规则，分别构建方程左右两端的代数式：

• 左端项 $S_{k^2}$（即将自变量 $n$ 完整替换为 $k^2$）： $S_{k^2}=\frac{1}{2}(k^2{)}^2+k^2=\frac{1}{2}{k}^4+k^2\text{（式2）}$
• 右端项 $(S_k{)}^2$： $(S_k{)}^2={\left(\frac{1}{2}{k}^2+k\right)}^2=\frac{1}{4}{k}^4+2\cdot \left(\frac{1}{2}{k}^2\right)\cdot k+k^2=\frac{1}{4}{k}^4+k^3+k^2\text{（式3）}$

由题目已知约束条件 $S_{k^2}=(S_k{)}^2$，联立（式2）与（式3）： $\frac{1}{2}{k}^4+k^2=\frac{1}{4}{k}^4+k^3+k^2\text{（式4）}$ 两边同时消去相同的低次项 $k^2$，并移项合并同类项： $\frac{1}{4}{k}^4-k^3=0\text{（式5）}$ 由于已知条件限定 $k$ 必须为正整数，显然有 $k\ne 0⟹k^3\ne 0$。 方程（式5）两边同时除以非零运算 $k^3$： $\frac{1}{4}k-1=0⟹\frac{1}{4}k=1⟹k=4$ 经边界筛查， $k=4$ 完整符合正整数集。

(2) 求所有的无穷等差数列 $\{a_n\}$，使得对于一切正整数 $k$ 都有 $S_{k^2}=(S_k{)}^2$ 成立 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。其前 $n$ 项和可规范改写为： $S_n=\frac{d}{2}{n}^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n\text{（式6）}$ 为了简化多项式展开的代数运算量，设常数运算系数： $A=\frac{d}{2},B=a_1-\frac{d}{2}\text{（式7）}$ 则前 $n$ 项和被等价规约为标准二次齐次图形： $S_n=A{n}^2+Bn$。

依据题意，分别写出含参变量 $k$ 的多项式结构：

• 左端项 $S_{k^2}$： $S_{k^2}=A(k^2{)}^2+B(k^2)=A{k}^4+B{k}^2\text{（式8）}$
• 右端项 $(S_k{)}^2$： $(S_k{)}^2=(A{k}^2+Bk{)}^2=A^2{k}^4+2AB{k}^3+B^2{k}^2\text{（式9）}$

因为要求对于一切正整数 $k$ 目标等式恒成立，联立（式8）与（式9）建立关于 $k$ 的次数幂恒等式： $A{k}^4+B{k}^2\equiv A^2{k}^4+2AB{k}^3+B^2{k}^2\text{（式10）}$ 根据多项式恒等定理（即定义在无限集上的两个多项式恒等，其对应同次项系数必严格全等），对比（式10）两端各次幂系数： $\{\begin{array}{ll}{k}^4\text{项系数}:A=A^2& \text{（方程1）}\\ k^3\text{项系数}:0=2AB& \text{（方程2）}\\ k^2\text{项系数}:B=B^2& \text{（方程3）}\end{array}$

下面对该复杂方程组展开完整的分类分域求解：

1. 分支一：由（方程1） $A^2-A=0⟹A(A-1)=0$，可得： $A=0\text{或}A=1\text{（式11）}$
2. 分支二：由（方程3） $B^2-B=0⟹B(B-1)=0$，可得： $B=0\text{或}B=1\text{（式12）}$

将上述分支交叉代入核心约束（方程2） $2AB=0⟹AB=0$ 中进行合法性核验筛选：

• 组合一：若 $A=0$： 代入（方程2）恒成立（$0\times B=0$）。 此时由（式12）可知， $B$ 可取 0 或 1。
  • 当 $A=0,B=0$ 时： 由（式7）反演转换： $\frac{d}{2}=0⟹d=0$； $a_1-0=0⟹a_1=0$。 此时数列通项为 $a_n=0$，对应的和函数为 $S_n=0$。
  • 当 $A=0,B=1$ 时： 由（式7）反演转换： $\frac{d}{2}=0⟹d=0$； $a_1-0=1⟹a_1=1$． 此时数列通项为常数数列 $a_n=1$，对应的和函数为 $S_n=n$。
• 组合二：若 $A=1$： 代入（方程2）要求 $1\times B=0⟹B=0$。
  • 当 $A=1,B=0$ 时： 由（式7）反演转换： $\frac{d}{2}=1⟹d=2$； $a_1-\frac{2}{2}=0⟹a_1-1=0⟹a_1=1$． 此时数列通项为连续奇数数列 $a_n=1+(n-1)\times 2=2n-1$，对应的和函数为 $S_n=n^2$。
• 组合三：若 $A=1,B=1$： 代入（方程2）得 $AB=1\times 1=1\ne 0$，冲突，此组解舍去。

第(2)问结论汇总： 存在且仅存在 3 个满足恒等条件的无穷等差数列，它们的通项公式分别如下：

1. $a_n=0$ （即 $a_1=0,d=0$）；
2. $a_n=1$ （即 $a_1=1,d=0$）；
3. $a_n=2n-1$ （即 $a_1=1,d=2$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差求和公式的高次幂复杂因式分解；代数多项式恒等的充要条件（对应系数全等运算）；含多参变量方程组的不重复不遗漏分类讨论。
2. 核心方法：待定系数系数全等法。
3. 避坑指南：
   • 第(2)问求解系数方程组时，极易漏掉 $A=0,B=0$（即全零数列）或者漏掉组合分类：很多学生直觉上认为等差数列的公差 $d$ 不能为 0，因而在解方程时强行要求 $A\ne 0$，导致直接把前两种常数数列的合法解完全漏掉。请牢记数列大题定义域铁律：只要题干中没有特别说明‘非零数列’或‘非常数数列’，公差 $d$ 与首项 $a_1$ 的取值集合完整属于整个实数域 $\mathbf{R}$。在求出未知数后，必须严格按照组合树的结构，对所有可能的 $A,B$ 交织断面对称核验，以确保分类讨论不重不漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学关于“等差数列与代数方程恒等变换”的典型高阶压轴综合解答题，是高考考查利用代数恒等性质方法消元离散动力系统的标准母题。
2. 结论推广: 等差数列前 $n$ 项和 $S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数且常数项为零。已知 $S_n$ 满足的递推关系时，可设 $S_n=A{n}^2+Bn$ 再待定系数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 1992-全国卷理-11 单-二项式展开的系数
• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差