2003-上海卷理-03 填-等差数列的通项公式

本题导读

本题考查等差数列的基本性质和前 $n$ 项和公式，重点在于利用等差数列项的对称性简化求和运算。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_5=3$，$a_6=-2$，则 $a_4+a_5+\cdots +a_{10}=$ ________.

🔍【思路分析】

破题导航

• 方法一（基本量法）： 已知 $a_5$ 和 $a_6$，可求出公差 $d$。由公差和某一项可以求出首项 $a_1$ 或任意指定项，再利用等差数列求和公式计算。
• 方法二（性质法）： 观察所求和的项数。从 $a_4$ 到 $a_{10}$ 共有 7 项，由等差数列的对称性可知 $a_4+a_{10}=a_5+a_9=a_6+a_8=2a_7$。利用 $a_4+a_{10}=a_5+a_9$ 无法直接求出。若转化为 $a_5+a_6$ 的形式，可利用首尾相加的性质。

✅【答案】

Success

$-49$

✍【详细解析】

Abstract

解析一（基本量法）： 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 因为 $a_5=3$，$a_6=-2$， 所以公差 $d=a_6-a_5=-2-3=-5$。 所求式子为 $a_4+a_5+\cdots +a_{10}$，这是一个首项为 $a_4$，末项为 $a_{10}$，项数 $n=10-4+1=7$ 的等差数列之和。 根据通项公式得： $a_4=a_5-d=3-(-5)=8$ $a_{10}=a_6+4d=-2+4\times (-5)=-22$ 根据求和公式得： $a_4+a_5+\cdots +a_{10}=\frac{7\times (a_4+a_{10})}{2}=\frac{7\times (8-22)}{2}=\frac{7\times (-14)}{2}=-49$

解析二（性质法）： 从 $a_4$ 到 $a_{10}$ 共有 $10-4+1=7$ 项。 根据等差数列的性质，若 $i+j=m+n$，则 $a_i+a_j=a_m+a_n$。 因为 $4+10=5+9=6+8=7+7=14$， 所以： $a_4+a_{10}=a_5+a_9=a_6+a_8=2a_7$ 根据等差数列求和公式： $a_4+a_5+\cdots +a_{10}=7a_7$ 又因为 $a_5+a_6=a_4+a_7=a_3+a_8=\cdots$ 无法直接凑出 $a_7$， 但由于 $a_5+a_6=3+(-2)=1$，且 $a_5+a_6=2a_1+9d$。 由 $d=-5$，得 $2a_7=a_5+a_9=3+(a_6+3d)=3+(-2-15)=-14⟹a_7=-7$。 所以： $7a_7=7\times (-7)=-49$

故答案为 $-49$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的求和公式 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 以及等差中项性质。
2. 核心方法：首尾配对法。在处理连续多项相加时，先计算项数，再看能否利用 $a_i+a_j=\text{常数}$ 进行两两配对。
3. 避坑指南：项数计算错误。部分考生容易把 $a_4+a_5+\cdots +a_{10}$ 的项数误算为 $10-4=6$ 项，正确的项数是 $10-4+1=7$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自教材中等差数列前 $n$ 项和的标准基础练习题，意在强化对“等加横码性质”的理解。
2. 结论推广: 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，若求 $a_m+a_{m+1}+\cdots +a_n$ 的值，其项数为 $N=n-m+1$。
   • 当 $N$ 为奇数时，和等于 $N\times a_{\frac{m+n}{2}}$（中间项）；
   • 当 $N$ 为偶数时，和等于 $\frac{N}{2}\times (a_m+a_n)=\frac{N}{2}\times (a_k+a_{m+n-k})$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和