2002-上海卷理-11 填-非线性递推数列

本题导读

本题考查非线性递推数列通项公式的求解。核心意图在于测试学生利用特殊项归纳数字幂次规律的能力，或通过两边取对数将高次递推转化为线性等比数列的代数化归思想。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)）若数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n}^{2}$ ( $n$ 是正整数)，则数列的通项 $a_{n} =$ .

🔍【思路分析】

破题导航

方法一（归纳猜想律）：依次计算数列的前几项，写出 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 的值。观察底数与指数的结构，发现底数恒为 $3$ ，而指数表现为以 $2$ 为公比的等比数列，从而直接写出通项公式。

方法二（对数换元法）：由于 $a_{1} = 3 > 0$ 且递推式为次幂形式，各项均恒为正数。通过在递推方程 $a_{n + 1} = a_{n}^{2}$ 两边同时取以 $3$ 为底的对数，构造新数列 $b_{n} = lo g_{3} a_{n}$ ，将其转化为标准的线性等比数列求解。

✅【答案】

Success

$3^{2^{n - 1}}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：归纳猜想律（高效直观）

根据已知条件 $a_{1} = 3$ 且 $a_{n + 1} = a_{n}^{2}$ ，逐项向后递推：

当 $n = 1$ 时： $a_{2} = a_{1}^{2} = 3^{2} = 3^{2}$

当 $n = 2$ 时： $a_{3} = a_{2}^{2} = (3^{2})^{2} = 3^{4} = 3^{2^{2}}$

当 $n = 3$ 时： $a_{4} = a_{3}^{2} = (3^{4})^{2} = 3^{8} = 3^{2^{3}}$

分析指数序列规律：

项数 $n = 1$ 时，指数为 $1 = 2^{0}$

项数 $n = 2$ 时，指数为 $2 = 2^{1}$

项数 $n = 3$ 时，指数为 $4 = 2^{2}$

项数 $n = 4$ 时，指数为 $8 = 2^{3}$

由此规律可知，第 $n$ 项的底数为 $3$ ，其对应的指数为以 $1$ 为首项、 $2$ 为公比的等比数列的第 $n$ 项，即 $2^{n - 1}$ 。故猜想通项公式为： $a_{n} = 3^{2^{n - 1}}$

方法二：对数换元法（严密化归）

因为 $a_{1} = 3 > 0$ ，由递推式 $a_{n + 1} = a_{n}^{2}$ 可知，对任意 $n \in N^{*}$ 均有 $a_{n} > 0$ 。在原递推方程两边同时取以 3 为底的对数： $lo g_{3} a_{n + 1} = lo g_{3} (a_{n}^{2})$

利用对数的幂性质展开右侧项： $lo g_{3} a_{n + 1} = 2 lo g_{3} a_{n}$

引入辅助数列，令 $b_{n} = lo g_{3} a_{n}$ 。代入上式可得新数列的递推式： $b_{n + 1} = 2 b_{n}$

由此可知，数列 ${b_{n}}$ 是一个首项为 $b_{1} = lo g_{3} a_{1} = lo g_{3} 3 = 1$ ，公比为 $q = 2$ 的标准等比数列。根据等比数列通项公式，直接求出 $b_{n}$ ： $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1} = 1 \times 2^{n - 1} = 2^{n - 1}$

将 $b_{n} = lo g_{3} a_{n}$ 代回指数定义式中，逆向还原出原通项 $a_{n}$ ： $lo g_{3} a_{n} = 2^{n - 1} ⟹ a_{n} = 3^{2^{n - 1}}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：非线性幂次递推方程的代数结构拆解；等比数列通项公式的直接应用。

核心方法：两边取对数法、归纳猜想法。

避坑指南：

双重指数书写规范混淆：最终答案 $3^{2^{n - 1}}$ 属于层叠幂指数结构。部分学生在书写时由于笔迹不规范，极易将其误写成 $(3^{2})^{n - 1} = 9^{n - 1}$ 或者是 $3 \times 2^{n - 1}$ 。需要明确， $3^{2^{n - 1}}$ 与 $9^{n - 1}$ 在代数上完全不等价。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题为上海高考理科数学的第十一题，考查递推数列 $a_{n + 1} = a_{n}^{2}$ 的乘方性质与通项求解，属数列基本递推运算的常规题。

结论推广：对于所有形如 $a_{n + 1} = m \cdot a_{n}^{k} (m > 0, k \neq = 1)$ 且首项 $a_{1} > 0$ 的非线性累乘方递推式：通用求解策略均为两边取对数转换为一阶线性递推式 $x_{n + 1} = k x_{n} + ln m$ 。特别地，当 $m = 1$ 时（即形如 $a_{n + 1} = a_{n}^{k}$ ），其通项公式可以直接一元化总结为： $a_{n} = a_{1}^{k^{n - 1}}$ 代入本题参数 $a_{1} = 3, k = 2$ ，即得 $a_{n} = 3^{2^{n - 1}}$ 。

🔗【关联脉络】

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19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差

2006-湖北文-20 解-数列通项与裂项求和

2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项

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2002-上海卷理-11 填-非线性递推数列

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