2002-新课标理-12 单-等比数列的应用

本题导读

本题是一道结合时政经济背景的数学建模应用题。主要考查考生将实际问题转化为数学模型（等比数列或指数函数增长模型）的能力，以及在面对较大数字和高次幂时，利用合理估算（如二项式定理近似展开）求得最终结果的运算求解能力。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元，比上年增长 7.3%”，如果“十五”期间（2001 年 － 2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为()

A. 115000 亿元　　　　　　　　　　　　　　　　B. 120000 亿元

C. 127000 亿元　　　　　　　　　　　　　　　　D. 135000 亿元

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理清时间节点与增长次数：基准年（已知量）是 2001 年，国内生产总值为 95933 亿元。“十五”末指的是 2005 年。从 2001 年到 2005 年，一共经历了 $2005-2001=4$ 次增长。
2. 构建数学模型：设 2001 年国内生产总值为 $A$，年增长率为 $r$，则 2005 年的国内生产总值表达式为 $A(1+r{)}^4$。
3. 巧用近似估算：直接计算 $95933\times (1+7.3\%{)}^4$ 较为繁琐，可通过将 $A$ 适当近似，并对 $(1+r{)}^4$ 采用二项式定理展开，保留前几项进行快速估算。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，2001 年国内生产总值 $A=95933\approx 9.6\times 10^4$ 亿元，年增长率 $r=7.3\%=0.073$。 “十五”期间为 2001 年至 2005 年，“十五”末即 2005 年。 从 2001 年到 2005 年，共增长了 4 次。

因此，2005 年的国内生产总值为： $Y=95933\times (1+7.3\%{)}^4$

为了简化计算，利用二项式定理对 $(1+0.073{)}^4$ 进行展开，由于 $0.073$ 较小，只需取前三项进行近似估算即可： $(1+0.073{)}^4=1+C_4^1\times 0.073+C_4^2\times 0.073^2+\dots$ $\approx 1+4\times 0.073+6\times 0.00533$ $=1+0.292+0.032=1.324$

将其代入原式进行计算： $Y\approx 95933\times 1.324\approx 96000\times 1.324=127104\text{ 亿元}$

观察各选项，127104 亿元与 127000 亿元最接近。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列复合增长率模型的建立，二项式定理在近似计算中的应用。
2. 核心方法：二项式展开近似法。在面对 $(1+r{)}^n$ 且 $r$ 较小、 $n$ 不大时，用 $1+nr$ 或者是 $1+nr+\frac{n(n-1)}{2}{r}^2$ 代替原式，是高考中极为重要的硬算简化技巧。
3. 避坑指南：最容易出错的地方在于增长次数的判断。部分考生容易误把“2001年－2005年”算作 5 次增长。需要明确的是，2001 年的值已经是已知结果，到 2005 年总共只跨越了 4 个年份区间（即 2002、2003、2004、2005 各增长一次）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于课本中指数函数与等比数列的实际应用案例（如细胞分裂、复利计算、国民经济增长等）。这类题目将数学工具与实际生产生活数据直接挂钩，体现了数学的应用价值。
2. 结论推广：在国民经济或企业产值的复合增长模型中，若基期数值为 $P_0$，年平均增长率为 $r$，则第 $n$ 年后的产值公式为 $P_n=P_0(1+r{)}^n$。当 $r$ 极小时，也可用二项式展开的一阶近似 $P_n\approx P_0(1+nr)$ 进行估算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2004-湖南文-11 单-数列增长率应用
• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项