2004-辽宁卷-08 单-离散型随机变量的分布列性质

本题导读

本题考查全概率公式，以及等比数列的前 $n$ 项和公式。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 已知随机变量 $\xi$ 的概率分布如下：

$\xi$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$P$	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{3^2}$	$\frac{2}{3^3}$	$\frac{2}{3^4}$	$\frac{2}{3^5}$	$\frac{2}{3^6}$	$\frac{2}{3^7}$	$\frac{2}{3^8}$	$\frac{2}{3^9}$	$m$

则 $P(\xi =10)=$ ()

A. $\frac{2}{3^9}$　　　　　　B. $\frac{2}{3^{10}}$　　　　　　C. $\frac{1}{3^9}$　　　　　　D. $\frac{1}{3^{10}}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立归一化方程：离散型随机变量分布列所有概率之和为 1，即 ${\sum }_{i=1}^{10}P(\xi =i)=1$。
2. 求前 9 项等比数列和：前 9 项 $\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\cdots +\frac{2}{3^9}$ 是首项 $a_1=\frac{2}{3}$、公比 $q=\frac{1}{3}$、项数 $n=9$ 的等比数列，用求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 计算。
3. 作差求 $m$：$m=1-S_9$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 利用分布列性质建立方程 分布列所有概率之和为 1： $\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\cdots +\frac{2}{3^9}+m=1\text{（式1）}$ 把未知项 $m$ 移到一侧： $m=1-\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\cdots +\frac{2}{3^9}\right)\text{（式2）}$

• 用等比数列求和公式求前 9 项和 记： $S_9=\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\cdots +\frac{2}{3^9}\text{（式3）}$ 首项 $a_1=\frac{2}{3}$、公比 $q=\frac{1}{3}$、项数 $n=9$： $S_9=\frac{\frac{2}{3}\cdot \left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^9\right]}{1-\frac{1}{3}}\text{（式5）}$ 分母 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，与分子外层的 $\frac{2}{3}$ 约去： $S_9=\frac{\frac{2}{3}\cdot \left(1-\frac{1}{3^9}\right)}{\frac{2}{3}}=1-\frac{1}{3^9}\text{（式6）}$

• 带回求 $m$ 将（式6）代入（式2）： $m=1-S_9=1-\left(1-\frac{1}{3^9}\right)\text{（式7）}$ 去括号： $m=1-1+\frac{1}{3^9}=\frac{1}{3^9}\text{（式8）}$ 即： $P(\xi =10)=\frac{1}{3^9}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分布列概率之和 $\sum P_i=1$；等比数列求和公式的化简。
2. 核心方法：概率归一法、等比数列求和法。
3. 避坑指南：
   • 误以为 $m$ 顺应规律等于 $\frac{2}{3^{10}}$ 而错选 B：前 9 项的分子都是 2、分母指数从 1 到 9，容易直觉外推。但分布列最后一项由”总和为 1”决定，不能套用前面的规律。写等比数列求和可见分子上的 2 与分母约去，得 $m=\frac{1}{3^9}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查离散型随机变量的分布列基本性质，属中档题。
2. 结论推广: 若前 $n$ 项概率满足 $P(\xi =k)=\frac{q-1}{q^k}(q>1)$，则由归一化条件，末项 $m=1-{\sum }_{k=1}^n\frac{q-1}{q^k}=\frac{1}{q^n}$。本题 $q=3,n=9$，故 $m=\frac{1}{3^9}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 23.02 全概率、贝叶斯公式与马尔可夫游走模型

类题演练 (Links)

• 2012-新课标Ⅰ(理)-18 解-离散型随机变量
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差