2001-豫粤卷-18 解-等差数列的定义与等差中项

本题导读

本题考查等差数列的定义与等差中项。核心在于方程建模法、裂项恒等变形法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 已知等差数列前三项为 $a,4,3a$，前 $n$ 项的和为 $S_n$，$S_k=2550$.

(1) 求 $a$ 及 $k$ 的值；

(2) 求 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\cdots +\frac{1}{S_n}\right)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问思路：

• 利用等差中项性质 $2a_2=a_1+a_3$ 建立关于 $a$ 的一元一次方程，解出 $a$ 的值。
• 确定数列的首项 $a_1$ 和公差 $d$，进而写出前 $n$ 项和 $S_n$ 的代数表达式。
• 将 $S_k=2550$ 代入 $S_n$ 公式中，建立关于 $k$ 的一元二次方程，求解出正整数 $k$ 的值。

2. 第(2)问思路：

• 将 $S_n$ 的表达式代入目标分式中，变形为关于 $n$ 的二次分式 $\frac{1}{n(n+1)}$ 形式。
• 采用裂项相消法将其拆分为 $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，对前 $n$ 项进行求和化简。
• 对化简后的整体和式取 $n\to \infty$ 的极限，求得最终收敛值。

✅【答案】

Success

(1) $a=2$，$k=50$

(2) 极限值为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $a$ 及 $k$ 的值

利用等差中项求 $a$ 因为数列的前三项 $a,4,3a$ 构成等差数列，根据等差中项定理： $2\times 4=a+3a$ $8=4a⟹a=2$

确定数列的基本元及 $S_n$ 表达式 由此可得该等差数列的前三项分别为 $2,4,6$。

• 首项 $a_1=2$
• 公差 $d=4-2=2$

根据等差数列前 $n$ 项和公式： $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=2n+\frac{n(n-1)}{2}\times 2=2n+n^2-n=n^2+n=n(n+1)$

利用 $S_k=2550$ 求解 $k$ 已知 $S_k=2550$，代入 $S_n$ 公式中建立方程： $k(k+1)=2550$ $k^2+k-2550=0$ 利用十字相乘法进行因式分解： $(k-50)(k+51)=0$ 解得： $k=50\text{或}k=-51$ 因为项数 $k$ 必须为正整数（ $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），故舍去负根。 综上可得： $a=2,k=50$

（2）求和式的极限值

对通项进行裂项恒等变形 由第(1)问可知， $S_n=n(n+1)$。则其倒数通项为： $\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n(n+1)}$ 应用裂项相消公式 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，将各分项展开： $\frac{1}{S_1}=\frac{1}{1\times 2}=1-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{S_2}=\frac{1}{2\times 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ $\dots$ $\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

对前 $n$ 项和进行累加消元 令前 $n$ 项的倒数和为 $T_n$，将其级联相加： $T_n=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\cdots +\frac{1}{S_n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$ 观察可知，中间的对应正负项彼此完全抵消，仅剩首尾两项： $T_n=1-\frac{1}{n+1}$

求 $n\to \infty$ 时的极限 对前 $n$ 项和的代数式取无穷远处的极限： ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\cdots +\frac{1}{S_n}\right)={\lim }_{n\to \infty }\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$ 当 $n\to \infty$ 时，分式项 $\frac{1}{n+1}\to 0$，故： ${\lim }_{n\to \infty }{T}_n=1-0=1$

(1) $a=2,k=50$ (2) 极限值为 $1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差基本元代数方程组联立； $n(n+1)$ 倒数级数的裂项相消不变量机制；数列极限的基础极限性质。
2. 核心方法：裂项相消法、方程分析法。
3. 避坑指南：

• 项数取值检验遗漏陷阱：在解一元二次方程得 $k=50$ 或 $k=-51$ 时，必须显式写出对项数正整数限界条件的审查，将不符合物理意义的负根严格剔除。
• 极限号提前丢弃陷阱：在进行第(2)问规范大题书写时，在求和号 $T_n$ 未化简完毕前，等式左端必须保留 ${\lim }_{n\to \infty }$ 算子，切勿提前丢弃导致步骤不严谨扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于综合代数板块标准的等差数列压轴解答题，取材于初等数论中关于**“级数求和与收敛性”**这一高等数学概念的基础化退化变形（属于高中教学向大学微积分级数部分衔接的枢纽题）。
2. 结论推广：

更一般地，对于任意首项为 $d$、公差为 $d$ 的标准等差数列，其前 $n$ 项和必表现为 $S_n=\frac{d}{2}n(n+1)$。对其倒数级数求无穷项全空间和（即级数求和），恒满足如下闭式解： ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{S_n}\equiv \frac{4}{d}$ 代入本题参数 $d=2$： ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{S_n}=\frac{4}{2}\times \frac{1}{2}=1$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 1987-全国文-12 填-数列的极限