2003-北京卷理-16 解-等差数列的通项公式

本题导读

本题主要考查等差数列通项公式的求解以及“差比乘积型”新数列的前 $n$ 项和。第 (1) 问通过基本量法或等差中项性质求出公差；第 (2) 问构造了等差与等比数列对应项相乘的新数列，考查核心算法“错位相减法”，同时考查公比 $x=1$ 与 $x\ne 1$ 的分类讨论逻辑。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，且 $a_1=2$，$a_1+a_2+a_3=12$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 令 $b_n=a_n{x}^n$ ($x\in \mathbf{R}$).求数列 $\{b_n\}$ 前 $n$ 项和的公式.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本量求解：利用等差数列的性质 $a_1+a_3=2a_2$ 快速求出 $a_2$，进而求得公差 $d$，写出通项公式 $a_n$。
2. 分析新数列结构：将 $a_n$ 代入 $b_n$，得到 $b_n=(2n)x^n$。此数列由等差数列 $\{2n\}$ 和等比数列 $\{x^n\}$ 的对应项相乘组成，属于典型的差比复合结构。
3. 分类讨论求和：

   • 当公比 $x=1$ 时，数列转化为纯等差数列求和。

   • 当公比 $x\ne 1$ 时，列出前 $n$ 项和 $S_n$ 的表达式，并在两边同乘以公比 $x$ 后错开一位相减，通过等比数列求和公式完成推导。

✅【答案】

Success

(1) $a_n=2n$

(2) $S_n=\{\begin{array}{ll}n(n+1),& x=1\\ \frac{2x(1-x^n)}{(1-x{)}^2}-\frac{2n{x}^{n+1}}{1-x},& x\ne 1\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。

方法一：等差中项法 因为 $\{a_n\}$ 是等差数列，所以 $a_1+a_3=2a_2$。 代入已知条件 $a_1+a_2+a_3=12$ 得： $3a_2=12⟹a_2=4$ 因为 $a_1=2$，所以公差： $d=a_2-a_1=4-2=2$

方法二：基本量方程法 将已知条件用 $a_1$ 和 $d$ 表示： $a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=12$ $3a_1+3d=12$ 将 $a_1=2$ 代入上式得： $6+3d=12⟹3d=6⟹d=2$

故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)\times 2=2n$

(2) 求数列 $\{b_n\}$ 前 $n$ 项和的公式

由 (1) 知 $a_n=2n$，则 $b_n=2n{x}^n$。 设数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则： $S_n=2\cdot 1\cdot x^1+2\cdot 2\cdot x^2+2\cdot 3\cdot x^3+\cdots +2n\cdot x^n\text{(1)}$

由于公比含有参数 $x$，需对 $x$ 是否为 1 进行分类讨论。

情况 1：当 $x=1$ 时 $S_n=2\times 1+2\times 2+2\times 3+\cdots +2n=2(1+2+3+\cdots +n)$ 利用等差数列求和公式： $S_n=2\times \frac{n(1+n)}{2}=n(n+1)$

情况 2：当 $x\ne 1$ 时 在 ① 式两边同乘以公比 $x$，得： $x{S}_n=2\cdot 1\cdot x^2+2\cdot 2\cdot x^3+\cdots +2(n-1)\cdot x^n+2n\cdot x^{n+1}\text{(2)}$

将 ① 式减去 ② 式（错位相减）： $(1-x)S_n=2x+2x^2+2x^3+\cdots +2x^n-2n{x}^{n+1}$ $(1-x)S_n=\frac{2x(1-x^n)}{1-x}-2n{x}^{n+1}$

两边同除以 $(1-x)$ 整理得： $S_n=\frac{2x(1-x^n)}{(1-x{)}^2}-\frac{2n{x}^{n+1}}{1-x}$ （亦可合并通分为：$S_n=\frac{2x-2(n+1)x^{n+1}+2n{x}^{n+2}}{(1-x{)}^2}$）

综合上述，数列 $\{b_n\}$ 前 $n$ 项和的公式为： $S_n=\{\begin{array}{ll}n(n+1),& x=1\\ \frac{2x(1-x^n)}{(1-x{)}^2}-\frac{2n{x}^{n+1}}{1-x},& x\ne 1\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项公式，错位相减法求和的代数结构与运算步骤。
2. 核心方法：乘公比、移位、相减。它是将“差比型”数列转化为“纯等比”加“孤立尾项”的标准化代数技巧。
3. 避坑指南：

   • 使用错位相减法时，极易忽略对公比 $x=1$ 的独立讨论。若直接除以 $1-x$，会导致分母为 0 的严重逻辑错误。

   • 在相减的步骤中，最后一项 $-2n{x}^{n+1}$ 前面的负号最容易错写为正号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中关于等比数列前 $n$ 项和公式推导（乘公比错位相减法）的思维拓展，是高考数列解答题中最具代表性的传统压轴小大题结构。
2. 结论推广: 若等差数列通项为 $A_n=n$，等比数列通项为 $B_n=q^n$ ($q\ne 1$)，则其乘积数列的前 $n$ 项和通式为 ${\sum }_{k=1}^{n}k{q}^k=\frac{q-(n+1)q^{n+1}+n{q}^{n+2}}{(1-q{)}^2}$。本题即为该公式在系数为 2 时的具体体现。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 2005-湖北卷文-19 解-等差等比与错位求和