2005-湖北卷文-19 解-等差等比与错位求和

本题导读

本题考查等差数列与等比数列通项，以及错位相减求和。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=2n^2$，$\{b_n\}$ 为等比数列，且 $a_1=b_1$，$b_2(a_2-a_1)=b_1$．(1)求数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；(2)设 $c_n=\frac{a_n}{b_n}$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_n=S_n-S_{n-1}=4n-2$（$n⩾2$），验 $a_1=2$。
2. 由 $a_1=b_1=2$、$b_2(a_2-a_1)=b_1$ 求公比。
3. $c_n=(2n-1)4^{n-1}$，错位相减求 $T_n$。

✅【答案】

Success

（1）$a_n=4n-2$，$b_n=2{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$；（2）$T_n=\frac{(6n-5)4^n+5}{9}$．

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $n⩾2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-2(n-1{)}^2=4n-2$；又 $a_1=S_1=2$ 也满足，故 $a_n=4n-2$．由 $a_1=b_1=2$，且 $b_2(a_2-a_1)=b_1$，而 $a_2=6$，$a_2-a_1=4$，故 $b_2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，公比 $q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{4}$，$b_n=2{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$． （2）$c_n=\frac{a_n}{b_n}=\frac{4n-2}{2{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}}=(2n-1)4^{n-1}$．$T_n=1\cdot 4^0+3\cdot 4^1+5\cdot 4^2+\cdots +(2n-1)4^{n-1}$，$4T_n=1\cdot 4^1+3\cdot 4^2+\cdots +(2n-3)4^{n-1}+(2n-1)4^n$，相减得 $-3T_n=1+2(4+4^2+\cdots +4^{n-1})-(2n-1)4^n=1+\frac{8(4^{n-1}-1)}{3}-(2n-1)4^n$，化简 $T_n=\frac{(6n-5)4^n+5}{9}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比与错位求和

核心方法：$S_n=2n^2$ 作差得 $a_n=4n-2$；$c_n=(2n-1)4^{n-1}$ 相邻相消

避坑指南：$a_n$ 与 $S_n$ 关系须验 $n=1$；$9T_n=(6n-5)4^n+5$ 由 $(6k-5)4^k-(6k-11)4^{k-1}=9(2k-1)4^{k-1}$ 逐项相消

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 数列求和

结论推广：$a_n=4n-2$（$S_n=2n^2$ 作差）；$b_n=2{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$；$T_n=\frac{(6n-5)4^n+5}{9}$（相邻相消）

方法推广：“等差比等比”的商数列求和可用错位相减，也可凑相邻相消结构——后者运算量更小

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-19 解-数列递推错位相减
• 2005-全国卷I理-19 解-等比数列的前项和公式
• 2004-全国卷II理-19 解-数列的递推关系