2001-大纲理-15 填-等比数列的前$n$项和公式

本题导读

本题考查等比数列的前 $n$ 项和公式，以及等差数列的定义与判定。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列， $S_n$ 是它的前 $n$ 项和.若 $\{S_n\}$ 是等差数列，则 $q$ =$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等差数列定义：已知 $\{S_n\}$ 是等差数列，根据定义，相邻两项的差是一个常数（即公差 $d$）。
2. 转化和的差为通项：根据前 $n$ 项和与通项的关系可知：

• $S_2-S_1=a_2$
• $S_3-S_2=a_3$
• $S_4-S_3=a_4$ 由此可得，等差数列 $\{S_n\}$ 的相邻项之差，正好对应原等比数列的各项。

3. 推导公比：这意味着等比数列从第二项起， $a_2=a_3=a_4=\cdots =d$ 恒为常数。结合等比数列通项公式确定公比 $q$ 的值。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列定义转化项的关系 设等差数列 $\{S_n\}$ 的公差为 $d$。根据等差数列的定义： $S_1=a_1$ $S_2-S_1=d$ $S_3-S_2=d$ $S_4-S_3=d$

利用前 $n$ 项和与通项公式的基本关系 $S_n-S_{n-1}=a_n(n\ge 2)$ 可知： $a_2=S_2-S_1=d$ $a_3=S_3-S_2=d$ $a_4=S_4-S_3=d$ 综上可知，从第二项起，原等比数列的各项均相等： $a_2=a_3=a_4=\cdots =d\text{(1)}$

利用等比数列性质求解公比 $q$ 因为 $\{a_n\}$ 是等比数列，满足递推关系 $a_{n+1}=a_n\cdot q$。 将 ① 式代入递推关系中（取 $n=2$）： $a_3=a_2\cdot q⟹d=d\cdot q⟹d(q-1)=0\text{(2)}$

根据等比数列的定义，首项 $a_1\ne 0$ 且公比 $q\ne 0$。

• 若公差 $d=0$，则由 ① 式得 $a_2=a_3=\cdots =0$。而等比数列中若出现某一项为 0，则其后各项也必全为 0。 此时满足 $a_2=a_1\cdot q=0$，因为 $a_1\ne 0$，则必须有 $q=0$。但公比为 0 的等比数列一般不讨论（此分支为退化情形）。
• 若公差 $d\ne 0$，则由 ② 式两边同除以 $d$ 直接解得： $q-1=0⟹q=1$

当 $q=1$ 时，原数列为常数数列 $a_1,a_1,a_1,\cdots$。 其前 $n$ 项和为 $S_n=n\cdot a_1$，显然 $S_n$ 是一个首项为 $a_1$，公差为 $a_1$ 的等差数列，符合题意。

1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差定义与前 $n$ 项和、通项关系的结合。
2. 核心方法：基本项枚举分析法。
3. 避坑指南：

• 盲目套用求和公式陷阱：部分学生一看到“等比数列前 $n$ 项和”，就直接套用公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，这会默认排除了 $q=1$ 的情况（公式分母不能为 0），再尝试证明 $S_n$ 是一次函数 $An+B$ 形式，容易因分母无法消去而算不下去。处理数列概念题，优先从定义（前几项关系）入手，不要盲目套用求和公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于数列基本概念辨析题，取材于高中代数教材“等差数列与等比数列的综合应用”章节的概念辨析题。
2. 结论推广：若等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和数列 $\{S_n\}$ 是等差数列，则必有公比 $q=1$，此时 $\{a_n\}$ 为常数数列，$S_n=n{a}_1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 1986-广东理-38 解-数列与数学归纳法