本题导读
本题考查等比数列复利增长模型在实际经济数据中的应用。核心意图在于测试学生将实际文字信息转化为数学指数递增模型的能力，并重点考查在没有计算器的背景下，如何利用二项式定理展开或凑整估算的方法进行高次幂的近似计算。
📌【题干】
Question
（2002年大纲卷(理)） 据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元，比上年增长 7.3%”，如果“十五”期间（2001 年－2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为 ()
A. 115000 亿元 B. 120000 亿元
C. 127000 亿元 D. 135000 亿元
🔍【思路分析】
破题导航
- 分析计息周期（基期与末期）：
- 基期数据：2001 年的国内生产总值为 亿元。
- 年增长率：。
- 目标时间：“十五”末指的是 2005 年。
- 计算增长次数：从 2001 年到 2005 年，一共经历了 次增长。
- 构建数学模型： 到 2005 年末的国内生产总值 的数学公式为：
- 高效近似估算： 由于无法使用计算器，需要将 近似看作 ，并将 利用二项式定理近似保留前三项展开，或采用多次平方凑整快速锁定答案区间。
✅【答案】
Success
C
✍【详细解析】
Abstract
第一步：构建指数增长模型 由题意，2001 年国内生产总值为基础值 亿元，年增长率 。 “十五”期间指 2001 年至 2005 年，“十五”末即指 2005 年。 从 2001 年末到 2005 年末，增长的年数为：
故 2005 年的国内生产总值预测值 为：
第二步：代数近似估算 为了在有限时间内得出最接近的选项，对数据进行合理凑整与离散化化简： 将 近似看作 。
- 利用二项式定理展开近似： 根据公式 ，当 较小时，高次项可忽略。 计算各分项：
累加得：
- 计算最终约值：
观察四个选项，127104 亿元与 127000 亿元最为接近。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：等比数列应用题的模型建立（复利公式 ）；二项式定理的一阶与二阶线性近似放缩。
- 核心方法：数据凑整法、二项式展开舍项法。
- 避坑指南：
- 年份项数判定陷阱：极易将 2001 到 2005 误算为 次增长，从而代入 5 次方进行错误计算。必须明确，2001 年的数据已经作为基期初始值（此时 ），后续每过一年增长一次，到 2005 年底只需经历 4 次复合增长。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题属于高考数学中极具时代特色的“时政背景应用题”，将国家宏观经济指标转化为等比数列增长模型，着重考查数学在真实社会生活中的应用迁移能力。
- 结论推广： 在金融学与国民经济统计中，存在一个著名的估算复利翻倍时间的**“72法则”（Rule of 72）**。即若某项指标的年增长率为 ，则该指标翻倍所需的时间大约为 年。 本题中，若要使 GDP 翻倍，约需要 年。在 4 年的时间尺度下，其增幅大约为满翻倍幅度的四成左右（即 倍），这与本题精确算出的 倍高度自洽，是快速复核此类指数大数问题的直观工具。
🔗【关联脉络】
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