1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系

本题导读

本题考查直线与双曲线的位置关系。核心在于用判别式确定斜率范围、用弦长公式求距离。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 已知 $l_1$，$l_2$ 是过点 $P(-\sqrt{2},0)$ 的两条互相垂直的直线，且 $l_1$，$l_2$ 与双曲线 $y^2-x^2=1$ 各有两个交点，分别为 $A_1$，$B_1$ 和 $A_2$，$B_2$.

(1)求 $l_1$ 的斜率 $k_1$ 的取值范围；

(2)若 $A_1$ 恰是双曲线的一个顶点，求 $|A_2{B}_2|$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 联立直线与双曲线方程，由判别式大于 $0$ 确定斜率范围。
2. 由 $A_1$ 为顶点求 $l_1$、$l_2$ 的斜率，用弦长公式求 $|A_2{B}_2|$。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}}<|k_1|<\sqrt{3}$ 且 $k_1\ne \pm 1$

(2) $2\sqrt{15}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设过 $P(-\sqrt{2},0)$ 斜率为 $k$ 的直线 $l:y=k(x+\sqrt{2})$。代入双曲线 $y^2-x^2=1$，得 $(k^2-1)x^2+2\sqrt{2}{k}^{2}x+2k^2-1=0$。当 $k^2\ne 1$ 时，判别式 $\Delta =(2\sqrt{2}{k}^2{)}^2-4(k^2-1)(2k^2-1)=4(3k^2-1)$。直线与双曲线有两个交点的充要条件是 $\Delta >0$ 且 $k^2\ne 1$，即 $|k|>\frac{1}{\sqrt{3}}$ 且 $k\ne \pm 1$。 设 $l_1$ 的斜率为 $k_1$，则 $l_2$ 的斜率为 $-\frac{1}{k_1}$（两直线互相垂直）。对 $l_2$ 应用同一条件，得 $\left|-\frac{1}{k_1}\right|>\frac{1}{\sqrt{3}}$，即 $|k_1|<\sqrt{3}$，且 $k_1\ne \pm 1$。综合得 $\frac{1}{\sqrt{3}}<|k_1|<\sqrt{3}$，$k_1\ne \pm 1$。 (2)双曲线 $y^2-x^2=1$ 的两个顶点为 $(0,1)$、$(0,-1)$。若 $A_1$ 是顶点，则由 $P(-\sqrt{2},0)$ 到顶点的斜率可知 $k_1=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。于是 $l_2$ 的斜率 $m=-\frac{1}{k_1}$ 满足 $m^2=2$。把 $y=m(x+\sqrt{2})$ 代入 $y^2-x^2=1$，得 $2(x+\sqrt{2}{)}^2-x^2=1$，即 $x^2+4\sqrt{2}x+3=0$。两交点横坐标之差的绝对值为 $\sqrt{(4\sqrt{2}{)}^2-4\cdot 3}=2\sqrt{5}$，纵坐标之差是横坐标之差的 $|m|=\sqrt{2}$ 倍，故 $|A_2{B}_2|=2\sqrt{5}\cdot \sqrt{1+m^2}=2\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与双曲线的位置关系

核心方法：(1) 联立得 $(k^2-1)x^2+2\sqrt{2}{k}^{2}x+2k^2-1=0$，$\Delta >0$ 且 $k^2\ne 1$ 得 $|k|>\frac{1}{\sqrt{3}}$ 且 $k\ne \pm 1$；对 $l_2$ 同理 $|k_1|<\sqrt{3}$，故 $\frac{1}{\sqrt{3}}<|k_1|<\sqrt{3},k_1\ne \pm 1$；；(2) $A_1$ 为顶点 $(0,\pm 1)$ 得 $k_1=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$，$m^2=2$，$|A_2{B}_2|=2\sqrt{5}\sqrt{1+m^2}=2\sqrt{15}$

避坑指南：判别式定范围 + 弦长公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材直线与双曲线

结论推广：一般地，判别式定交点个数、弦长公式求距离

方法推广：判别式与弦长

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-16 填-双曲线顶点焦点与圆
• 1998-上海文-11 填-双曲线的标准方程
• 1997-全国卷文-24 解-对数函数图象的三点共线