1996-上海文-23 解-双曲线的方程与距离

本题导读

本题考查双曲线方程与点到直线的距离，核心在于由渐近线与圆相切、顶点关于 $y=x$ 对称确定方程，再由判别式判定到直线距离为定值的点的个数。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(文)） 已知双曲线 $S$ 的两条渐近线过坐标原点，且与以点 $A(\sqrt{2},0)$ 为圆心，$1$ 为半径的圆相切，双曲线 $S$ 的一个顶点 $A\prime$ 与点 $A$ 关于直线 $y=x$ 对称.

(1)求双曲线 $S$ 的方程；

(2)设直线 $l$ 过点 $A$，斜率为 $1$.在双曲线 $S$ 的上支上求点 $B$，使其与直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$；

(3)求双曲线 $S$ 上到直线 $l:y=\frac{2\sqrt{5}}{5}(x-\sqrt{2})$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点的个数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由渐近线与圆相切得渐近线 $y=\pm x$，由顶点对称得 $A\prime (0,\sqrt{2})$。
2. 由距离公式求点 $B$。
3. 作与 $l$ 平行、距离为 $\sqrt{2}$ 的直线，用判别式判定公共点个数。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$

(2) $B(\sqrt{2},2)$

(3) $3$ 个

✍【详细解析】

Abstract

(1)由已知得双曲线的渐近线为 $y=\pm x$，因而 $S$ 为等轴双曲线。因为其一个顶点为 $A\prime (0,\sqrt{2})$，所以双曲线 $S$ 的方程为 $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$，即 $y^2-x^2=2$。 (2)若 $B(x,\sqrt{x^2+2})$ 是双曲线 $S$ 的上支上到直线 $l:y=x-\sqrt{2}$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点，则 $\frac{|x-\sqrt{x^2+2}-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。解得 $x=\sqrt{2}$，$y=2$。因此点 $B$ 的坐标是 $(\sqrt{2},2)$。 (3)若直线 $l\prime :y=\frac{2\sqrt{5}}{5}x+m$ 与直线 $l$ 平行，且两线间的距离是 $\sqrt{2}$，则点 $A(\sqrt{2},0)$ 到直线 $l\prime$ 的距离为 $\sqrt{2}$，解得 $m_1=\frac{\sqrt{10}}{5}$，$m_2=-\sqrt{10}$。设 $l_1:y=\frac{2\sqrt{5}}{5}x+\frac{\sqrt{10}}{5}$，$l_2:y=\frac{2\sqrt{5}}{5}x-\sqrt{10}$。由 $y^2-x^2=2$ 及 $y=\frac{2\sqrt{5}}{5}x+\frac{\sqrt{10}}{5}$，得 $x^2-4\sqrt{2}x+8=0$，判别式 ${\Delta }_1=0$，所以直线 $l_1$ 与双曲线 $S$ 只有一个公共点；由 $y^2-x^2=2$ 及 $y=\frac{2\sqrt{5}}{5}x-\sqrt{10}$，得 $x^2+20\sqrt{2}x-40=0$，判别式 ${\Delta }_2=960>0$，所以直线 $l_2$ 与双曲线 $S$ 有两个公共点。因此，双曲线 $S$ 上到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点的个数，就是直线 $l_1,l_2$ 与双曲线 $S$ 的公共点的个数之和，故所求点的个数是 $3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的方程与距离

核心方法：(1) 渐近线 $y=\pm x$，顶点 $A\prime (0,\sqrt{2})$，双曲线 $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$；；(2) $B(\sqrt{2},2)$；；(3) 距离为 $\sqrt{2}$ 的平行线与上支相切，$k=0$ 或 $k=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$B(0,\sqrt{2})$ 或 $(2\sqrt{2},\sqrt{10})$

避坑指南：渐近线定方程 + 相切定参

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材双曲线

结论推广：一般地，渐近线定方程，相切定参数

方法推广：渐近线定方程 + 相切定参

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系
• 1996-上海理-23 解-双曲线的方程与距离
• 1999-上海理-22 解-椭圆与曲线的公共点及面积函数