1996-上海理-23 解-双曲线的方程与距离

本题导读

本题考查双曲线方程与点到直线的距离，核心在于由渐近线与圆相切、顶点关于 $y=x$ 对称确定方程，再由判别式定唯一交点。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(理)） 已知双曲线 $S$ 的两条渐近线过坐标原点，且与以点 $A(\sqrt{2},0)$ 为圆心，$1$ 为半径的圆相切，双曲线 $S$ 的一个顶点 $A\prime$ 与点 $A$ 关于直线 $y=x$ 对称.设直线 $l$ 过点 $A$，斜率为 $k$.

(1)求双曲线 $S$ 的方程；

(2)当 $k=1$ 时，在双曲线 $S$ 的上支上求点 $B$，使其与直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$；

(3)当 $0⩽k<1$ 时，若双曲线 $S$ 的上支上有且只有一个点 $B$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$，求斜率 $k$ 的值及相应的点 $B$ 的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由渐近线与圆相切得渐近线 $y=\pm x$，由顶点对称得 $A\prime (0,\sqrt{2})$。
2. 由距离公式求点 $B$。
3. 作平行线 $l\prime$，用判别式 $=0$ 定唯一交点。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$

(2) $B(\sqrt{2},2)$

(3) $k=0$ 时 $B(0,\sqrt{2})$，$k=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 时 $B(2\sqrt{2},\sqrt{10})$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由已知得双曲线的渐近线为 $y=\pm x$，因而 $S$ 为等轴双曲线。因为其一个顶点为 $A\prime (0,\sqrt{2})$，所以双曲线 $S$ 的方程为 $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$。 (2)若 $B(x,\sqrt{x^2+2})$ 是双曲线 $S$ 的上支上到直线 $l:y=x-\sqrt{2}$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点，则 $\frac{|x-\sqrt{x^2+2}-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。解得 $x=\sqrt{2}$，$y=2$。因此点 $B$ 的坐标是 $(\sqrt{2},2)$。 (3)当 $0⩽k<1$ 时，双曲线 $S$ 的上支在直线 $l$ 的上方。设直线 $l\prime$ 与直线 $l:y=k(x-\sqrt{2})$ 平行，两线间的距离为 $\sqrt{2}$，且直线 $l\prime$ 在直线 $l$ 的上方。双曲线 $S$ 的上支上有且只有一个点 $B$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$，等价于直线 $l\prime$ 与双曲线 $S$ 的上支有且只有一个公共点。设直线 $l\prime$ 的方程是 $y=kx+m$。由 $l$ 上的点 $A$ 到 $l\prime$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 可知 $\frac{|\sqrt{2}k+m|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{2}$，解得 $m=\sqrt{2}\left(\pm \sqrt{k^2+1}-k\right)$。因为直线 $l\prime$ 在直线 $l$ 的上方，所以 $m=\sqrt{2}\left(\sqrt{k^2+1}-k\right)$。由 $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$ 及 $y=kx+m$，消去 $y$，得 $(k^2-1)x^2+2mkx+m^2-2=0$。因为 $k^2\ne 1$，$\Delta =4(m^2-2+2k^2)=8k(3k-2\sqrt{k^2+1})$。令 $\Delta =0$，得 $0⩽k<1$，解得 $k=0$ 或 $k=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。当 $k=0$ 时，$m=\sqrt{2}$，解得 $x=0$，$y=\sqrt{2}$，所以点 $B$ 的坐标是 $(0,\sqrt{2})$。当 $k=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 时，$m=\frac{\sqrt{10}}{5}$，解得 $x=2\sqrt{2}$，$y=\sqrt{10}$，所以点 $B$ 的坐标是 $(2\sqrt{2},\sqrt{10})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的方程与距离

核心方法：(1) 渐近线 $y=\pm x$，顶点 $A\prime (0,\sqrt{2})$，双曲线 $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$；；(2) $B(\sqrt{2},2)$；；(3) 距离为 $\sqrt{2}$ 的平行线与上支相切，$k=0$ 或 $k=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$B(0,\sqrt{2})$ 或 $(2\sqrt{2},\sqrt{10})$

避坑指南：渐近线定方程 + 相切定参

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材双曲线

结论推广：一般地，渐近线定方程，相切定参数

方法推广：渐近线定方程 + 相切定参

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系
• 1997-上海理-21 解-直线与抛物线的位置关系
• 1999-上海理-22 解-椭圆与曲线的公共点及面积函数