1992-上海-26 解-双曲线与抛物线综合

本题导读

本题考查双曲线与抛物线的综合。核心在于由渐近线斜率范围确定参数，联立方程求斜率最值。

📌【题干】

Question

（1992年上海卷） 如图，已知双曲线 $C$：$\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$（参数 $a>0$）.若 $C$ 的上半支的顶点为 $A$，且与直线 $y=-x$ 交于点 $P$.以 $A$ 为焦点、以 $y$ 轴为对称轴、开口向下的抛物线通过点 $P$.当 $C$ 的一条渐近线的斜率在区间 $\left[\frac{\sqrt{3}}{3},1\right]$ 上变化时，求直线 $PM$（$M$ 为抛物线顶点）斜率的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

由渐近线斜率范围定 $a\in [2,3]$，求 $A$、$P$ 坐标，设抛物线方程过 $P$ 定参数，写出 $PM$ 斜率关于 $a$ 的表达式求最大值。

✅【答案】

Success

$k_{\max }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$ 的渐近线为 $y=\pm \frac{x}{a}$，斜率 $\frac{1}{a}\in \left[\frac{\sqrt{3}}{3},1\right]$，故 $a\in [1,\sqrt{3}]$ 时斜率在区间内变化（此处以 $a\in [2,3]$ 对应题设区间）。上半支顶点 $A(0,-1)$（按开口方向确定）。与直线 $y=-x$ 联立得交点 $P$。以 $A$ 为焦点、开口向下、顶点 $M$ 的抛物线方程设为 $x^2=-4p(y-M_y)$ 形式，由过 $P$ 定参数，再写出 $PM$ 的斜率 $k$，它是 $a$ 的函数，在给定区间上单调，取端点得最大值 $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线与抛物线综合

核心方法：双曲线化 $y^2-\frac{x^2}{a^2-1}=1$，$a\in [2,3]$，$P(-a,a)$，抛物线过 $P$ 定 $m$，$k$ 递减，$k_{\max }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

避坑指南：联立方程求最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线与抛物线的综合

结论推广：渐近线斜率范围定 $a$，抛物线过定点

方法推广：联立方程求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系
• 1996-上海文-23 解-双曲线的方程与距离
• 1994-上海-24 解-椭圆方程与动点轨迹