1991-三南-29 解-双曲线方程的求法

本题导读

本题考查双曲线标准方程的求法，核心在于用几何条件（夹角、分点、垂直平分线）建立方程。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 已知双曲线 $C$ 的实半轴长与虚半轴的乘积为 $\sqrt{3}$，$C$ 的两个焦点分别为 $F_1$、$F_2$，直线 $l$ 过 $F_2$ 且与直线 $F_1{F}_2$ 的夹角满足 $\tan \phi =\frac{\sqrt{21}}{2}$，$l$ 与线段 $F_1{F}_2$ 的垂直平分线的交点是 $P$，线段 $P{F}_2$ 与双曲线 $C$ 的交点为 $Q$，且 $|PQ|:|Q{F}_2|=2:1$.求双曲线 $C$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

设标准方程，由几何条件求出 $Q$ 点坐标代入双曲线方程，结合 $ab=\sqrt{3}$ 求 $a$、$b$。

✅【答案】

Success

$x^2-\frac{y^2}{3}=1$

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，焦点 $F_1=(-c,0)$、$F_2=(c,0)$，$c^2=a^2+b^2$。直线 $l$ 过 $F_2$ 与 $x$ 轴夹角满足 $\tan \phi =\frac{\sqrt{21}}{2}$，与垂直平分线 $x=0$ 交点可取 $P=\left(0,\frac{c\sqrt{21}}{2}\right)$。由 $|PQ|:|Q{F}_2|=2:1$，$Q$ 将线段 $P{F}_2$ 按 $2:1$ 分割，故 $Q=\left(\frac{2c}{3},\frac{c\sqrt{21}}{6}\right)$。代入双曲线方程并令 $A=a^2$、$B=b^2$，得 $\frac{4c^2}{9A}-\frac{21c^2}{36B}=1$，即 $(A+B)(16B-21A)=36AB$。又 $ab=\sqrt{3}$ 即 $AB=3$。展开得 $16B^2-41AB-21A^2=0$，令 $r=\frac{B}{A}>0$，则 $16r^2-41r-21=0$，得 $r=3$，故 $B=3A$。结合 $AB=3$ 得 $A=1$、$B=3$，双曲线方程为 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线方程的求法

核心方法：设 x²/a²−y²/b²=1，由 ab=√3 与交点 Q 坐标代入，令 A=a²、B=b² 得 B=3A，结合 AB=3 得 A=1、B=3，故 x²−y²/3=1。

避坑指南：待定系数法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线方程待定系数，用几何条件列方程。

结论推广：分点坐标公式由比例 2:1 确定 Q。

方法推广：焦点、垂直平分线等条件转化为坐标。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系
• 1996-上海文-23 解-双曲线的方程与距离
• 1998-全国卷文-16 填-双曲线顶点焦点与圆