1988-全国卷理-13 单-坐标轴平移

本题导读

本题考查坐标轴平移，以及双曲线的标准方程。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 如果曲线 $x^2-y^2-2x-2y-1=0$ 经过平移坐标轴后的新方程为 ${x^{\prime }}^2-{y^{\prime }}^2=1$，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 ()

A. $(1,1)$　　　　　B. $(-1,-1)$　　　　　C. $(-1,1)$　　　　　D. $(1,-1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 配方法： 原方程含有 $x$ 和 $y$ 的一次项，通过对 $x$ 和 $y$ 分别进行配方，将其化为关于 $(x-h)$ 和 $(y-k)$ 的标准形式。
2. 对应换元： 将配方后的方程与新方程 ${x^{\prime }}^2-{y^{\prime }}^2=1$ 进行对比，建立新旧坐标的变换关系式：$x^{\prime }=x-h,y^{\prime }=y-k$。
3. 求解原点： 新坐标系的原点在自身系统中坐标为 $(x^{\prime },y^{\prime })=(0,0)$，代入变换公式即可求出其在原坐标系中的坐标 $(x,y)=(h,k)$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：配方法（推荐） 将原方程 $x^2-y^2-2x-2y-1=0$ 的 $x$ 项与 $y$ 项分别进行配方： $(x^2-2x)-(y^2+2y)-1=0$ $(x-1{)}^2-1-[(y+1{)}^2-1]-1=0$ $(x-1{)}^2-(y+1{)}^2-1=0$ $(x-1{)}^2-(y+1{)}^2=1$

对比已知平移后的新方程 ${x^{\prime }}^2-{y^{\prime }}^2=1$，可得坐标变换公式为： $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-1\\ y^{\prime }=y+1\end{array}$

新坐标系的原点在新坐标系中的坐标为 $(x^{\prime },y^{\prime })=(0,0)$。 将 $x^{\prime }=0,y^{\prime }=0$ 代入变换公式： $\{\begin{array}{l}0=x-1⟹x=1\\ 0=y+1⟹y=-1\end{array}$ 所以，新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 $(1,-1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 移轴公式与曲线方程的化简；双曲线中心位置的平移。
2. 核心方法： - 曲线特征点法： 新方程 ${x^{\prime }}^2-{y^{\prime }}^2=1$ 的中心在 $(0,0)$，而原方程的中心通过配方容易看出为 $(1,-1)$。图形平移时中心随之平移，故新原点即为原曲线的中心。
3. 避坑指南： - 容易混淆平移公式的正负号。记住“新原点在原系中的坐标”就是变换关系 $x^{\prime }=x-h$ 中的 $(h,k)$，不宜错选为 $(-1,1)$。
   • 在对 $y$ 项配方时，注意提出负号后括号内符号的变化：$-y^2-2y=-(y^2+2y)=-(y+1{)}^2+1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于经典的解析几何移轴问题。在高等数学与线性代数中，属于二次型化标准形以及平面解析几何中通过坐标变换消除交叉项与一次项的简化理论。
2. 结论推广： 对于一般不含交叉项 $xy$ 的二次曲线 $A{x}^2+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ ($AC\ne 0$)，若通过移轴变换消去一次项，新原点在原坐标系中的坐标 $(x_0,y_0)$ 即为该二次曲线的中心，其坐标满足： $x_0=-\frac{D}{2A},y_0=-\frac{E}{2C}$ 本题中 $A=1,C=-1,D=-2,E=-2$，直接代入得 $x_0=-\frac{-2}{2(1)}=1$, $y_0=-\frac{-2}{2(-1)}=-1$，即 $(1,-1)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-23 解-双曲线上的点与距离
• 1991-三南-29 解-双曲线方程的求法
• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系