1998-全国卷文-16 填-双曲线顶点焦点与圆

本题导读

本题考查双曲线的顶点、焦点与圆，以及圆心到双曲线中心距离的求法。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 设圆过双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求双曲线半实轴、半虚轴、半焦距。
2. 圆心在顶点与焦点的垂直平分线上，代入双曲线方程求圆心坐标。

✅【答案】

Success

$\frac{16}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的半实轴、半虚轴分别为 $3$、$4$，所以焦半距为 $\sqrt{3^2+4^2}=5$。由对称性，不妨取顶点 $A=(3,0)$ 和同一支上的焦点 $F=(5,0)$。设所求圆的圆心为 $O=(u,v)$，因为 $OA=OF$，所以 $O$ 在 $AF$ 的垂直平分线上，即 $u=4$。代入圆心在双曲线上的条件，得 $\frac{4^2}{9}-\frac{v^2}{16}=1$，从而 $v^2=\frac{112}{9}$。因此圆心到双曲线中心的距离为 $\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{16+\frac{112}{9}}=\frac{16}{3}$。若取异支顶点和焦点，则垂直平分线的横坐标为 $-1$，不与双曲线相交，故上述情形给出唯一可能的距离。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线顶点焦点与圆

核心方法：双曲线 $a=3,c=5$；圆心在 $AF$ 垂直平分线 $u=4$ 上，代入双曲线得 $v^2=\frac{112}{9}$，距离 $\sqrt{16+\frac{112}{9}}=\frac{16}{3}$

避坑指南：圆心在垂直平分线上

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材双曲线的几何性质

结论推广：一般地，圆心在弦的垂直平分线上

方法推广：圆心在垂直平分线上

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-03 填-平移双曲线的焦点坐标
• 2001-大纲文-14 填-双曲线焦点与垂直
• 2000-大纲文-22 解-双曲线离心率的范围