2000-大纲文-22 解-双曲线离心率的范围

本题导读

本题考查双曲线的离心率与定比分点。核心在于建系由三点在双曲线上确定 $a^2$，再求离心率范围。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 如图，已知梯形 $ABCD$ 中 $|AB|=2|CD|$，点 $E$ 分有向线段 $\overrightarrow{AC}$ 所成的比为 $\lambda$，双曲线过 $C$、$D$、$E$ 三点，且以 $A$、$B$ 为焦点，当 $\frac{2}{3}⩽\lambda ⩽\frac{3}{4}$ 时，求双曲线离心率 $e$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $AB$ 为 $x$ 轴、中点为原点建系，设 $A(-1,0)$、$B(1,0)$。
2. 由 $|AB|=2|CD|$ 定 $C,D$ 坐标，$E$ 分 $AC$ 成比 $\lambda$。
3. 用三点在双曲线上求出 $a^2$，再求 $e$ 的范围。

✅【答案】

Success

$e\in [\sqrt{7},\sqrt{10}]$

✍【详细解析】

Abstract

设 $|CD|=1$，则 $|AB|=2$．以 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴、$AB$ 的中点为原点建立直角坐标系，则 $A(-1,0)$、$B(1,0)$．因双曲线以 $A,B$ 为焦点，故 $c=1$，设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$b^2=c^2-a^2=1-a^2$）． 因 $|CD|=1$ 且 $CD\parallel AB$，可设 $C\left(x_0,y_0\right)$、$D\left(x_0-1,y_0\right)$（$y_0>0$）．由 $C$、$D$ 在双曲线上：$\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{1-a^2}=1$ 与 $\frac{(x_0-1{)}^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{1-a^2}=1$ 相减得 $\frac{x_0^2-(x_0-1{)}^2}{a^2}=0$，即 $2x_0-1=0$，$x_0=\frac{1}{2}$． 又点 $E$ 分 $\overrightarrow{AC}$ 成比 $\lambda$，则 $E$ 的坐标为 $\left(\frac{x_0-\lambda }{1+\lambda },\frac{y_0}{1+\lambda }\right)=\left(\frac{\frac{1}{2}-\lambda }{1+\lambda },\frac{y_0}{1+\lambda }\right)$，且 $E$ 在双曲线上，代入整理并结合 $C$ 在双曲线上可解得 $a^2=\frac{1-\lambda }{1+2\lambda }$（$\lambda \in \left[\frac{2}{3},\frac{3}{4}\right]$）． 于是离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{a}=\sqrt{\frac{1+2\lambda }{1-\lambda }}$．该函数关于 $\lambda$ 单调递增，故 $\lambda =\frac{2}{3}$ 时 $e=\sqrt{7}$，$\lambda =\frac{3}{4}$ 时 $e=\sqrt{10}$，所以 $e\in [\sqrt{7},\sqrt{10}]$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线离心率的范围

核心方法：设 $|CD|=1$ 则 $|AB|=2$，以 $AB$ 为 $x$ 轴、中点为原点建系，$A(-1,0),B(1,0)$，设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，由 $C,D,E$ 三点共线且 $E$ 分 $AC$ 成比 $\lambda$，得 $a^2=\frac{1-\lambda }{1+2\lambda }$，离心率 $e=\sqrt{\frac{1+2\lambda }{1-\lambda }}$ 在 $\lambda \in [\frac{2}{3},\frac{3}{4}]$ 上递增，故 $e\in [\sqrt{7},\sqrt{10}]$

避坑指南：建系定 $a^2$ 再求离心率范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材双曲线的离心率

结论推广：一般地，$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

方法推广：建系定 $a^2$ 求离心率范围

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV文-22 解-双曲线离心率范围
• 2006-福建文-11 单-双曲线离心率范围
• 2003-大纲文-05 单-双曲线离心率

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