2000-大纲理-22 解-双曲线离心率范围

本题导读

本题考查双曲线的标准方程及离心率，主要用坐标化与消参。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 如图，已知梯形 $ABCD$ 中 $|AB|=2|CD|$，点 $E$ 分有向线段 $\overrightarrow{AC}$ 所成的比为 $\lambda$，双曲线过 $C$，$D$，$E$ 三点，且以 $A$，$B$ 为焦点，当 $\frac{2}{3}⩽\lambda ⩽\frac{3}{4}$ 时，求双曲线离心率 $e$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $AB$ 中点为原点建系，设 $C$、$D$ 坐标，由定比分点得 $E$，三点代入双曲线方程消去 $y_0$ 得 $e^2=\frac{1+2\lambda }{1-\lambda }$，再由 $\lambda$ 的范围求 $e$。

✅【答案】

Success

$\sqrt{7}⩽e⩽\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线的中心为 $O$，焦点 $A$，$B$ 分别为 $(-c,0)$，$(c,0)$，则 $AB=2c$，且双曲线方程可写为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$c^2=a^2+b^2$，$e=\frac{c}{a}$. 由 $CD\parallel AB$，且 $C$，$D$ 在双曲线的两支上，设它们的纵坐标均为 $y_0$. 双曲线方程关于 $y$ 轴对称，所以 $C$，$D$ 的横坐标互为相反数. 又 $CD=\frac{AB}{2}=c$，故可设 $C\left(\frac{c}{2},y_0\right)$，$D\left(-\frac{c}{2},y_0\right)$. 由点 $C$ 在双曲线上，$\frac{c^2}{4a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$. 由 $\frac{AE}{EC}=\lambda$，点 $E$ 的坐标为 $E=\frac{A+\lambda C}{1+\lambda }=\left(\frac{c(\lambda -2)}{2(1+\lambda )},\frac{\lambda y_0}{1+\lambda }\right)$. 因为 $E$ 也在双曲线上，$\frac{c^2(\lambda -2{)}^2}{4a^2(1+\lambda {)}^2}-\frac{{\lambda }^2{y}_0^2}{b^2(1+\lambda {)}^2}=1$. 令 $e^2=\frac{c^2}{a^2}$，由点 $C$ 的关系得到 $\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{e^2}{4}-1$. 将其代入点 $E$ 的关系，并乘以 $(1+\lambda {)}^2$，得 $\frac{e^2(\lambda -2{)}^2}{4}-{\lambda }^2\left(\frac{e^2}{4}-1\right)=(1+\lambda {)}^2$. 化简可得 $e^2(1-\lambda )=1+2\lambda$，即 $e^2=\frac{1+2\lambda }{1-\lambda }$. 由于 $\frac{2}{3}⩽\lambda ⩽\frac{3}{4}<1$，且 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda }\left(\frac{1+2\lambda }{1-\lambda }\right)=\frac{3}{(1-\lambda {)}^2}>0$，所以 $e^2$ 随 $\lambda$ 增大而增大. 因此 $e^2\in \left[\frac{1+2\cdot \frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}},\frac{1+2\cdot \frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}\right]=[7,10]$. 由 $e>0$，得到 $\sqrt{7}⩽e⩽\sqrt{10}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线方程与离心率

核心方法：建系坐标化+消参求 $e(\lambda )$+函数值域

避坑指南：$C$、$D$ 在双曲线两支上且 $CD\parallel AB$ 是设坐标的依据；$e^2$ 关于 $\lambda$ 单调递增，端点值 $\frac{2}{3}\to 7$、$\frac{3}{4}\to 10$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆锥曲线与定比分点、函数值域结合的压轴题。

2. 结论推广：求离心率范围的通用路径：坐标化 → 消去中间参数得 $e=f(\lambda )$ → 由 $\lambda$ 的范围与单调性求 $e$ 的范围.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-22 解-双曲线离心率的范围
• 1985-全国文-07 填-双曲线的离心率
• 1993-新高考文-02 单-双曲线的离心率与准线