1985-全国文-07 填-双曲线的离心率

本题导读

本题考查圆锥曲线的判型与离心率。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(文)） 求圆锥曲线 $3x^2-y^2+6x+2y-1=0$ 的离心率 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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配方得 $3(x+1{)}^2-(y-1{)}^2=3$。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

配方：$3(x^2+2x+1)-(y^2-2y+1)=3+3-1+1-1=3$，即 $3(x+1{)}^2-(y-1{)}^2=3$，化为 $\frac{(x+1{)}^2}{1}-\frac{(y-1{)}^2}{3}=1$。这是双曲线，$a^2=1$，$b^2=3$，$c^2=a^2+b^2=4$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{2}=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率

核心方法：配方 $3(x+1{)}^2-(y-1{)}^2=3$。

避坑指南：$a^2=1$、$c^2=4$，$e=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 上海文第 7 题同考圆锥曲线判型。

结论推广：一般二次方程配方后按标准方程读 $a^2$、$b^2$。

方法推广：双曲线 $e=\frac{c}{a}>1$，可用 $c^2=a^2+b^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-19 单-双曲线的离心率
• 1986-广东理-29 填-双曲线的离心率