1993-新高考理-02 单-双曲线的离心率与准线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及焦距、准线间距与离心率的关系。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 如果双曲线的焦距为 6，两条准线间的距离为 4，那么该双曲线的离心率为 ()

A. $\frac{3}{2}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步： 根据双曲线的几何性质，焦距为 $2c$，由此可直接求得参数 $c$ 的值；两条准线间的距离为 $\frac{2a^2}{c}$，由此可建立关于 $a$ 和 $c$ 的等式。
2. 第二步： 结合离心率的定义 $e=\frac{c}{a}$，将求得的 $a,c$ 代入公式，或者通过两式相除直接构建出 $e^2$ 或 $e$ 的代数式进行求解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：设双曲线的半焦距为 $c$，实半轴长为 $a$。 由题意可知： 焦距 $2c=6⟹c=3$ 两条准线间的距离 $\frac{2a^2}{c}=4⟹\frac{a^2}{c}=2$ 将 $c=3$ 代入上式得： $a^2=2c=2\times 3=6⟹a=\sqrt{6}$ 根据双曲线离心率的定义： $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ 故正确答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 双曲线中焦距 $2c$、准线方程 $x=\pm \frac{a^2}{c}$（或准线间距 $\frac{2a^2}{c}$）以及离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的基本公式。
2. 核心方法： 整体法。准线间距可以表示为 $\frac{2a^2}{c}=2\cdot \frac{a}{e}$，焦距与准线间距的比值即为 $\frac{2c}{\frac{2a^2}{c}}=\frac{c^2}{a^2}=e^2$。因此可以直接得到 $e^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}⟹e=\frac{\sqrt{6}}{2}$，从而无需单独算出 $a$ 的值。
3. 避坑指南： - 易将圆锥曲线的准线位置记错。椭圆与双曲线的准线间距均为 $\frac{2a^2}{c}$，但需注意双曲线的离心率 $e>1$，所以算出的结果必须大于 1，可直接排除 B 选项。
   • 混淆焦距的概念，错把焦距 $2c$ 当作 $c$ 导致计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于典型的“知二求一”基础题，源于课本对双曲线基本性质的直接应用定义，通常放在选择题的前几道，属于送分题。
2. 结论推广： 在圆锥曲线（椭圆与双曲线）中，焦距 $L_1=2c$ 与准线间距 $L_2=\frac{2a^2}{c}$ 之间存在固定的比例关系：
   • 它们的比值为 $\frac{L_1}{L_2}=\frac{2c}{\frac{2a^2}{c}}=\frac{c^2}{a^2}=e^2$。
   • 也就是说，离心率的平方等于焦距与准线间距的比值。此结论对于椭圆与双曲线通用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-08 单-双曲线离心率
• 1985-全国文-07 填-双曲线的离心率
• 1985-广东理-14 单-双曲线的离心率