1993-旧高考理-01 单-双曲线的离心率

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及离心率的定义与计算。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么该双曲线的离心率为 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

提取基本量：根据题意，实半轴长对应参数 $a$，焦距对应 $2c$。 计算半焦距：由焦距 $2c=6$ 求出参数 $c$。 求解离心率：利用双曲线离心率公式 $e=\frac{c}{a}$ 直接代入求值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据双曲线的几何性质与基本量定义：

1. 实半轴长为 2，即： $a=2$
2. 焦距为 6，即 $2c=6$，由此可得半焦距： $c=3$

根据双曲线离心率的定义公式，有： $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线基本量参数 $a,c$ 的几何概念，离心率公式 $e=\frac{c}{a}$。
2. 核心方法：公式法。
3. 避坑指南：
   • 容易混淆“焦距”与“半焦距”。若将焦距 6 错当成 $c$，会得出 $e=\frac{6}{2}=3$ 的错误结论。
   • 检查取值范围。双曲线的离心率恒满足 $e>1$。观察选项，A 和 B 均小于 1（属于椭圆的离心率范围），在审题时可直接予以排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于圆锥曲线板块的入门级经典概念题，取材于高中解析几何教材中“双曲线的简单几何性质”一节的课后基础练习题。
2. 结论推广：若题目进一步要求该双曲线的虚半轴长 $b$ 或渐近线方程，可利用双曲线内部的方幂恒等式 $b^2=c^2-a^2$ 延伸求解。本题中 $b^2=3^2-2^2=5⟹b=\sqrt{5}$，若双曲线焦点在 $x$ 轴上，其渐近线方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-07 填-双曲线的离心率
• 1985-广东理-14 单-双曲线的离心率
• 1986-广东文-29 填-双曲线的离心率