1996-全国卷理-24 解-直线与双曲线的弦长

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与渐近线性质、直线与圆锥曲线的位置关系（联立与判别式）。核心在于根与系数的关系（韦达定理）、渐近线界限判定法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(理)） 已知 $l_1,l_2$ 是过点 $P(-\sqrt{2},0)$ 的两条互相垂直的直线，且 $l_1,l_2$ 与双曲线 $y^2-x^2=1$ 各有两个交点，分别为 $A_1,B_1$ 和 $A_2,B_2$.

(1) 求 $l_1$ 的斜率 $k_1$ 的取值范围；

(2) 若 $|A_1{B}_1|=\sqrt{5}|A_2{B}_2|$，求 $l_1,l_2$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

第 (1) 问分析思路：

• 双曲线 $y^2-x^2=1$ 的渐近线为 $y=\pm x$，斜率为 $\pm 1$。
• 若直线与双曲线有两个交点，除了考虑判别式 $\Delta >0$ 外，还必须确保直线的斜率不能使得直线与渐近线平行（若平行或其夹角包含双曲线，交点可能为 0 或 1 个）。
• 设 $l_1$ 方程为 $y=k_1(x+\sqrt{2})$，联立双曲线方程消去 $y$，得到关于 $x$ 的一元二次方程。由于两直线互相垂直，还需同步考查 $l_2$ 的斜率 $k_2=-\frac{1}{k_1}$ 对应的双交点限界，两者的交集即为最终范围。 第 (2) 问分析思路：
• 设联立所得一元二次方程的两根为 $x_1,x_2$，利用韦达定理写出 $x_1+x_2$ 与 $x_1{x}_2$。
• 套用标准弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{\Delta }}{|A|}$，分别写出 $|A_1{B}_1|$ 和 $|A_2{B}_2|$ 关于斜率的代数式。
• 代入已知比例关系式 $|A_1{B}_1|=\sqrt{5}|A_2{B}_2|$，平方消去根号，构造关于 $k_1$ 的齐次代数方程求解。

✅【答案】

Success

(1) $k_1\in (-\sqrt{3},-1)\cup \left(-1,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}}{3},1\right)\cup (1,\sqrt{3})$

(2) 当 $k_1=\sqrt{2}$ 时，$l_1:y=\sqrt{2}(x+\sqrt{2})$，$l_2:y=-\frac{\sqrt{2}}{2}(x+\sqrt{2})$；当 $k_1=-\sqrt{2}$ 时，$l_1:y=-\sqrt{2}(x+\sqrt{2})$，$l_2:y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x+\sqrt{2})$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $l_1$ 的斜率 $k_1$ 的取值范围

已知双曲线方程为 $y^2-x^2=1$，其焦点在 $y$ 轴上，渐近线方程为 $y=\pm x$。 设直线 $l_1$ 的斜率为 $k_1$。由于 $l_1,l_2$ 互相垂直，若其中一条直线斜率为 0 或不存在，对应的另一条直线将平行于坐标轴。 检验：若 $l_1$ 垂直于 $x$ 轴，方程为 $x=-\sqrt{2}$，代入双曲线得 $y^2=3⟹y=\pm \sqrt{3}$，有两个交点；此时 $l_2$ 方程为 $y=0$，代入双曲线得 $-x^2=1$ 无实根，不符题意。因此 $l_1,l_2$ 的斜率均存在且不为 0。

设 $l_1$ 的方程为： $y=k_1(x+\sqrt{2})$ 将 $l_1$ 的方程代入双曲线方程 $y^2-x^2=1$ 中： $k_1^2(x+\sqrt{2}{)}^2-x^2=1$ $k_1^2(x^2+2\sqrt{2}x+2)-x^2-1=0$ 整理为关于 $x$ 的一元二次方程形式： $(k_1^2-1)x^2+2\sqrt{2}{k}_1^{2}x+2k_1^2-1=0\text{(1)}$

直线 $l_1$ 与双曲线有两个不同的交点，必须满足：

1. 二次项系数不为 0： $k_1^2-1\ne 0⟹k_1\ne \pm 1$。
2. 判别式大于 0： ${\Delta }_1=(2\sqrt{2}{k}_1^2{)}^2-4(k_1^2-1)(2k_1^2-1)>0$ ${\Delta }_1=8k_1^4-4(2k_1^4-3k_1^2+1)=8k_1^4-8k_1^4+12k_1^2-4=12k_1^2-4>0$ 解得：$k_1^2>\frac{1}{3}⟹k_1>\frac{\sqrt{3}}{3}\text{或}{k}_1<-\frac{\sqrt{3}}{3}$。

由于 $l_2\perp l_1$，则 $l_2$ 的斜率满足 $k_2=-\frac{1}{k_1}$。 同理，直线 $l_2$ 与双曲线也必须有两个不同的交点，其对应的联立二次方程判别式同样须满足 ${\Delta }_2>0$。同理可得： $k_2^2>\frac{1}{3}⟹{\left(-\frac{1}{k_1}\right)}^2>\frac{1}{3}⟹\frac{1}{k_1^2}>\frac{1}{3}⟹k_1^2<3$ 解得：$-\sqrt{3}<k_1<\sqrt{3}$。

同时， $k_2\ne \pm 1⟹-\frac{1}{k_1}\ne \pm 1⟹k_1\ne \pm 1$。

综合上述关于 $k_1^2$ 的所有限界条件： $\{\begin{array}{l}{k}_1^2>\frac{1}{3}\\ k_1^2<3\\ k_1^2\ne 1\end{array}⟹\frac{1}{3}<k_1^2<3\text{且}{k}_1^2\ne 1$

解得 $l_1$ 的斜率 $k_1$ 的取值范围为： $k_1\in \left(-\sqrt{3},-1\right)\cup \left(-1,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}}{3},1\right)\cup \left(1,\sqrt{3}\right)$

(2) 若 $|A_1{B}_1|=\sqrt{5}|A_2{B}_2|$，求 $l_1,l_2$ 的方程

设 $A_1,B_1$ 的横坐标分别为 $x_1,x_2$。由方程 ① 及韦达定理得： $x_1+x_2=-\frac{2\sqrt{2}{k}_1^2}{k_1^2-1},x_1{x}_2=\frac{2k_1^2-1}{k_1^2-1}$ 根据标准弦长公式： $|A_1{B}_1|=\sqrt{1+k_1^2}\cdot |x_1-x_2|=\sqrt{1+k_1^2}\cdot \frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{|k_1^2-1|}=\sqrt{1+k_1^2}\cdot \frac{\sqrt{12k_1^2-4}}{|k_1^2-1|}$ 提取常数项化简得： $|A_1{B}_1|=\frac{2\sqrt{1+k_1^2}\sqrt{3k_1^2-1}}{|k_1^2-1|}$

同理，对于直线 $l_2$，将其斜率 $k_2=-\frac{1}{k_1}$ 代入上述通式中： $|A_2{B}_2|=\frac{2\sqrt{1+{\left(-\frac{1}{k_1}\right)}^2}\sqrt{3{\left(-\frac{1}{k_1}\right)}^2-1}}{\left|{\left(-\frac{1}{k_1}\right)}^2-1\right|}=\frac{2\sqrt{1+\frac{1}{k_1^2}}\sqrt{\frac{3}{k_1^2}-1}}{\left|\frac{1}{k_1^2}-1\right|}$ 分子分母同时乘以 $k_1^2$ 进行通分约分化简： $|A_2{B}_2|=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{k_1^2+1}}{|k_1|}\cdot \frac{\sqrt{3-k_1^2}}{|k_1|}}{\frac{|1-k_1^2|}{k_1^2}}=\frac{2\sqrt{1+k_1^2}\sqrt{3-k_1^2}}{|1-k_1^2|}$

已知条件满足 $|A_1{B}_1|=\sqrt{5}|A_2{B}_2|$，代入两弦长公式： $\frac{2\sqrt{1+k_1^2}\sqrt{3k_1^2-1}}{|k_1^2-1|}=\sqrt{5}\cdot \frac{2\sqrt{1+k_1^2}\sqrt{3-k_1^2}}{|1-k_1^2|}$

两边同时约去非零公共因子 $\frac{2\sqrt{1+k_1^2}}{|k_1^2-1|}$： $\sqrt{3k_1^2-1}=\sqrt{5}\sqrt{3-k_1^2}$ 两边同时平方： $3k_1^2-1=5(3-k_1^2)$ $3k_1^2-1=15-5k_1^2$ $8k_1^2=16⟹k_1^2=2$

因为 $2\in \left(\frac{1}{3},3\right)$ 且 $2\ne 1$，完全符合第 (1) 问求得的法定取值范围。 解得 $l_1$ 的斜率为： $k_1=\pm \sqrt{2}$

1. 情况一：当 $k_1=\sqrt{2}$ 时， $l_2$ 的斜率 $k_2=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
   • $l_1$ 的方程为： $y=\sqrt{2}(x+\sqrt{2})⟹\sqrt{2}x-y+2=0$
   • $l_2$ 的方程为： $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}(x+\sqrt{2})⟹\sqrt{2}x+2y+2=0$
2. 情况二：当 $k_1=-\sqrt{2}$ 时， $l_2$ 的斜率 $k_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
   • $l_1$ 的方程为： $y=-\sqrt{2}(x+\sqrt{2})⟹\sqrt{2}x+y+2=0$
   • $l_2$ 的方程为： $y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x+\sqrt{2})⟹\sqrt{2}x-2y+2=0$

综上所述，所求直线的方程组为： $\sqrt{2}x-y+2=0$ 和 $\sqrt{2}x+2y+2=0$；或 $\sqrt{2}x+y+2=0$ 和 $\sqrt{2}x-2y+2=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：联立直线与双曲线方程的二次方程系数控制；双重垂直条件下的判别式双重约束；大题中弦长通式的通用约分技巧。 核心方法：“对偶变量通分化简法”。在求得 $|A_1{B}_1|$ 关于 $k_1$ 的解析式后，利用 $k_2=-\frac{1}{k_1}$ 直接对自变量进行倒数代换并快速通分脱壳，是避免产生二次高阶计算污染的核心核心方法。 避坑指南：

• 单侧判别式漏项陷阱：第一问极易只对 $l_1$ 求判别式得出 $k_1^2>\frac{1}{3}$，完全漏掉 $l_2$ 对公比的反向压制约束（$k_1^2<3$）。必须明确：两条直线都必须与双曲线有两个交点，两个判别式缺一不可。
• 二次项系数 $k^2-1\ne 0$ 的物理边界在最终解集区间中必须以开区间断开点形式予以剔除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题作为 1996 年全国高考理科数学的压轴大题，是解析几何“解析几何化、代数结构化”命题思路的巅峰之作。直接启发了后二十年高考对于直线与双曲线、椭圆交点弦长比例方程的命题范式。 结论推广： 对于等轴双曲线 $y^2-x^2=M^2$，过定点 $P(x_0,0)$ 的两条互相垂直的直线，其对应的弦长公式关于斜率 $k$ 具有高度对称的倒数对偶特征。 若其比例满足 $\frac{|A_1{B}_1|}{|A_2{B}_2|}=\lambda$：

• 其最终都可以通过消去各项高阶多项式，归一化为关于 $k^2$ 的简单线性分式或一元二次代数方程；
• 这种对称消元机制在高等几何的“解析射影几何变换”中被称为二次曲线束的共轭不变量定理。掌握此代数对称结构，在大题第二问中可直接略去繁琐通分，精准预测斜率的平方值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-16 填-双曲线顶点焦点与圆
• 1998-上海文-11 填-双曲线的标准方程
• 1997-全国卷文-24 解-对数函数图象的三点共线