1997-全国卷文-24 解-对数函数图象的三点共线

本题导读

本题考查对数函数图象与三点共线。核心在于用换底公式把 $lo g_{2} x$ 与 $lo g_{8} x$ 联系起来。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)）已知过原点 $O$ 的一条直线与函数 $y = lo g_{8} x$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，分别过点 $A$ ， $B$ 作 $y$ 轴的平行线与函数 $y = lo g_{2} x$ 的图象交于 $C$ ， $D$ 两点.

(1)证明：点 $C$ ， $D$ 和原点 $O$ 在同一条直线上；

(2)当 $B C$ 平行于 $x$ 轴时，求点 $A$ 的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $A$ 、 $B$ 坐标，用 $lo g_{2} x = 3 lo g_{8} x$ 求 $C$ 、 $D$ 坐标。

证 $C$ 、 $D$ 、 $O$ 共线；由 $B C ∥ x$ 轴求 $A$ 。

✅【答案】

Success

(1) 见解析

(2) $A (3, lo g_{8} 3)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设过原点的直线为 $y = k x$ ， $A (x_{A}, lo g_{8} x_{A})$ 、 $B (x_{B}, lo g_{8} x_{B})$ 在该直线上，故 $lo g_{8} x_{A} = k x_{A}$ 、 $lo g_{8} x_{B} = k x_{B}$ 。过 $A$ 、 $B$ 作 $y$ 轴平行线交 $y = lo g_{2} x$ 于 $C (x_{A}, lo g_{2} x_{A})$ 、 $D (x_{B}, lo g_{2} x_{B})$ 。由换底公式 $lo g_{2} x = 3 lo g_{8} x$ ，得 $C$ 的纵坐标为 $3 lo g_{8} x_{A} = 3 k x_{A}$ ，同理 $D$ 的纵坐标为 $3 k x_{B}$ 。故 $C$ 、 $D$ 均在直线 $y = 3 k x$ 上，即 $C$ 、 $D$ 、 $O$ 三点共线。（2） $B C ∥ x$ 轴时， $B$ 、 $C$ 纵坐标相等，即 $lo g_{8} x_{B} = lo g_{2} x_{A} = 3 lo g_{8} x_{A}$ ，得 $x_{B} = x_{A}^{3}$ 。又 $A$ 、 $B$ 均在过原点的直线上， $\frac{lo g _{8} x _{B}}{x _{B}} = \frac{lo g _{8} x _{A}}{x _{A}}$ ，代入 $x_{B} = x_{A}^{3}$ 得 $\frac{3 lo g _{8} x _{A}}{x _{A}^{3}} = \frac{lo g _{8} x _{A}}{x _{A}}$ 。因 $x_{A} > 1$ ， $lo g_{8} x_{A} \neq = 0$ ，约去得 $x_{A}^{2} = 3$ ，即 $x_{A} = 3$ 。故 $A (3, lo g_{8} 3)$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数图象的三点共线

核心方法：(1) 设过原点直线 $y = k x$ ，与 $y = lo g_{8} x$ 交点 $A, B$ ；由 $lo g_{2} x = 3 lo g_{8} x$ ， $C, D$ 纵坐标是 $A, B$ 的 $3$ 倍，故 $C, D, O$ 共线；；(2) $B C ∥ x$ 轴时 $lo g_{8} x_{B} = lo g_{2} x_{A} = 3 lo g_{8} x_{A}$ 得 $x_{B} = x_{A}^{3}$ ，又 $A, B$ 共线得 $x_{A}^{2} = 3$ ， $x_{A} = 3$ ， $A (3, lo g_{8} 3)$

避坑指南：换底得纵坐标倍数关系

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数换底公式

结论推广：一般地， $lo g_{2} x = 3 lo g_{8} x$ 得纵坐标倍数

方法推广：换底得倍数关系

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

1998-全国卷文-11 单-注水量与水深函数的图象

1999-上海文-09 填-对数的换底公式

1998-上海文-01 填-对数的运算

∑ ( Math )

Explorer

1997-全国卷文-24 解-对数函数图象的三点共线

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks