1999-上海文-09 填-对数的换底公式

本题导读

本题考查对数的换底公式与运算性质。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(文)） $\frac{{\log }_{3}2}{{\log }_{27}64}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将 ${\log }_{27}64$ 换底：$27=3^3$，$64=4^3$。
2. 用对数恒等式化简求值。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

${\log }_{27}64={\log }_{3^3}{4}^3={\log }_{3}4=2{\log }_{3}2$，故原式 $=\frac{{\log }_{3}2}{2{\log }_{3}2}=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数的换底公式

核心方法：${\log }_{27}64={\log }_{3^3}{4}^3={\log }_{3}4$，原式 $=\frac{{\log }_{3}2}{{\log }_{3}4}=\frac{{\log }_{3}2}{2{\log }_{3}2}=\frac{1}{2}$

避坑指南：换底公式 + 对数恒等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数的运算性质

结论推广：一般地，${\log }_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}{\log }_{a}b$，${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a=1$

方法推广：换底公式化简

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2008-山东文-15 填-对数换底与求和
• 2014-四川卷文-07 单-对数换底
• 2012-安徽卷文-03 单-对数换底求值