1996-上海理-03 单-对数的换底与大小比较

本题导读

本题考查对数的大小比较，以及换底公式的应用。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(理)） 如果 ${\log }_{a}3>{\log }_{b}3>0$，那么 $a$，$b$ 间的关系是 ()

A.$0<a<b<1$　　B.$1<a<b$　　C.$0<b<a<1$　　D.$1<b<a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 ${\log }_{a}3>0$ 判断 $a$ 的范围。
2. 用换底公式比较 $a$、$b$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\log }_{a}3=\frac{\lg 3}{\lg a}>0$（因 $\lg 3>0$）得 $\lg a>0$，即 $a>1$；同理 $b>1$。又 ${\log }_{a}3>{\log }_{b}3$ 即 $\frac{\lg 3}{\lg a}>\frac{\lg 3}{\lg b}>0$，得 $\frac{1}{\lg a}>\frac{1}{\lg b}>0$，故 $\lg a<\lg b$，即 $1<a<b$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数的换底与大小比较

核心方法：${\log }_{a}3>{\log }_{b}3>0$，由 ${\log }_{a}3=\frac{\lg 3}{\lg a}>0$ 得 $a>1$；又 ${\log }_{a}3>{\log }_{b}3$ 即 $\frac{1}{\lg a}>\frac{1}{\lg b}>0$，故 $\lg a<\lg b$，$1<a<b$，选 B

避坑指南：换底公式比较大小

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数的换底公式

结论推广：一般地，用换底公式把对数化为同底比较

方法推广：换底公式比较大小

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1997-上海理-02 单-指数对数的大小比较
• 1999-上海文-09 填-对数的换底公式
• 1998-上海文-01 填-对数的运算