1991-上海-26 解-重心轨迹方程的求法

本题导读

本题考查动点重心轨迹方程的求法。核心在于设参数、联立、用重心坐标公式消参，并用判别式定轨迹范围。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 如图，设有一动直线 $L$，过定点 $A(2,0)$ 且与抛物线 $y=x^2+2$ 相交于不同的两点 $B$ 和 $C$.点 $B$、$C$ 在 $x$ 轴上的射影分别是 $B\prime$、$C\prime$.$P$ 是线段 $BC$ 上的点，适合关系式 $\frac{BP}{PC}=\frac{|BB\prime |}{|CC\prime |}$.求 $△POA$ 的重心 $Q$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $P(x_0,y_0)$、$B(x_1,y_1)$、$C(x_2,y_2)$，用定比分点与重心坐标公式消参，结合判别式定范围。

✅【答案】

Success

直线 $12X-3Y-4=0$ 上满足 $4-\frac{4}{3}\sqrt{6}<Y<4+\frac{4}{3}\sqrt{6}$ 的一段，并除去点 $\left(\frac{4}{3},4\right)$

✍【详细解析】

Abstract

设 $P(x_0,y_0)$、$B(x_1,y_1)$、$C(x_2,y_2)$，重心 $Q(X,Y)$。设 $\frac{y_1}{y_2}=\lambda$，由 $\frac{BP}{PC}=\frac{|BB\prime |}{|CC\prime |}$ 得 $y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }=\frac{2y_1{y}_2}{y_1+y_2}$。设直线 $L:y=k(x-2)$（$k\ne 0$），代入 $y=x^2+2$ 得 $y^2+(4k-k^2)y+6k^2=0$，故 $y_1+y_2=k^2-4k$、$y_1{y}_2=6k^2$。于是 $\frac{2}{y_0}=\frac{k-4}{6k}$，结合 $k=\frac{y_0}{x_0-2}$ 得 $4x_0-y_0+4=0$。由重心公式 $X=\frac{x_0+2}{3}$、$Y=\frac{y_0}{3}$ 得 $12X-3Y-4=0$。由判别式 $(4k-k^2{)}^2-24k^2>0$ 得 $k<4-2\sqrt{6}$ 或 $k>4+2\sqrt{6}$，化为 $4-\frac{4}{3}\sqrt{6}<Y<4+\frac{4}{3}\sqrt{6}$，且点 $\left(\frac{4}{3},4\right)$ 不在轨迹上。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：重心轨迹方程的求法

核心方法：设参、联立、用重心坐标公式消参求轨迹方程并定范围。

避坑指南：重心坐标+消参

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：轨迹问题用设参消参的方法。

结论推广：重心坐标公式 X=(x₁+x₂+x₃)/3。

方法推广：注意判别式定范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 1994-上海-24 解-椭圆方程与动点轨迹
• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系
• 1996-上海文-23 解-双曲线的方程与距离