1990-广东文-13 单-动点轨迹方程

本题导读

本题考查动点与定点连线中点的轨迹方程，利用中点坐标代换。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(文)） 一动点在圆 $x^2+y^2=1$ 上移动时，它与定点 $(3,0)$ 连线的中点的轨迹方程是 ()

A. $(x+3{)}^2+y^2=4$　　B. $(x-3{)}^2+y^2=1$　　C. ${\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2+y^2=\frac{1}{2}$　　D. $(2x-3{)}^2+4y^2=1$

🔍【思路分析】

破题导航

设中点 $(x,y)$，则动点为 $(2x-3,2y)$，代入圆方程。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设动点为 $P(x_0,y_0)$，中点为 $M(x,y)$，则 $x_0=2x-3$，$y_0=2y$。因 $P$ 在圆 $x_0^2+y_0^2=1$ 上，故 $(2x-3{)}^2+(2y{)}^2=1$，即 $(2x-3{)}^2+4y^2=1$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：动点轨迹方程

核心方法：设动点与中点坐标关系，代入圆方程。

避坑指南：轨迹法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：中点坐标代换。

结论推广：中点坐标公式。

方法推广：缩放系数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1992-上海-23 解-动点轨迹方程
• 1991-上海-26 解-重心轨迹方程的求法
• 1990-全国文-19 填-圆上的最值问题