1990-全国文-19 填-圆上的最值问题

本题导读

本题考查圆上点与原点连线斜率的最大值，用几何意义求解。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） 如果实数 $x$、$y$ 满足等式 $(x-2{)}^2+y^2=3$，那么 $\frac{y}{x}$ 的最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\frac{y}{x}$ 是圆上点与原点连线的斜率，最大值为切线斜率。

✅【答案】

Success

$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{y}{x}$ 是圆 $(x-2{)}^2+y^2=3$ 上点与原点连线的斜率。设 $y=kx$ 与圆相切，圆心 $(2,0)$ 到直线 $kx-y=0$ 的距离等于半径：$\frac{|2k|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{3}$，得 $4k^2=3(k^2+1)$，$k^2=3$，$k=\sqrt{3}$。故最大值为 $\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆上的最值问题

核心方法：用几何意义或参数法求圆上点与原点连线的斜率最值。

避坑指南：圆的几何意义

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆上点的最值用几何意义。

结论推广：y/x 是点与原点连线的斜率。

方法推广：切线斜率最值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.00 知识网络

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-09 单-圆上点到直线的距离最值
• 1992-全国文-15 单-复数模的最值
• 1993-旧高考文-06 单-直角三角形中正弦乘积的最值