1993-旧高考文-06 单-直角三角形中正弦乘积的最值

本题导读

本题考查直角三角形中正弦乘积的最值，以及二次化简与区间端点的处理。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 在直角三角形中两锐角为 $A$ 和 $B$，则 $\sin A\sin B$ ()

A. 有最大值\dfrac12和最小值0　　　　　　B. 有最大值\dfrac12，但无最小值

C. 既无最大值，也无最小值　　　　　D. 有最大值1，但无最小值

🔍【思路分析】

破题导航

$\sin A\sin B=\frac{1}{2}\sin 2A$，$A\in (0,90^{\circ })$ 开区间。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$A+B=90^{\circ }$，$\sin A\sin B=\sin A\cos A=\frac{1}{2}\sin 2A$。当 $0<A<90^{\circ }$ 时 $0<2A<180^{\circ }$，最大值 $\frac{1}{2}$ 在 $A=45^{\circ }$ 取得；$A\to 0^{\circ }$ 或 $90^{\circ }$ 时式子趋近 $0$ 但取不到，无最小值。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直角三角形中正弦乘积的最值

核心方法：$A+B=90^{\circ }$，$\sin A\sin B=\frac{1}{2}\sin 2A\in (0,\frac{1}{2}]$，有最大值 $\frac{1}{2}$ 无最小值

避坑指南：开区间端点取不到，最值与值域要分开陈述

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数图象与性质

结论推广：$\sin A\sin B$ 在直角三角形中上界 $\frac{1}{2}$ 取不到两端

方法推广：动态最值问题先写出单变量函数再定域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-10 单-余弦的二次函数最值
• 1994-全国卷文-21 解-三角函数的最值
• 1994-上海-09 填-三角函数的最值