1997-全国卷文-10 单-余弦的二次函数最值

本题导读

本题考查余弦的二次式最值，以及换元后求二次函数最值。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 函数 $y={\cos }^{2}x-3\cos x+2$ 的最小值为()

A. $2$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $-\frac{1}{4}$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $t=\cos x\in [-1,1]$。
2. 求二次函数 $y=t^2-3t+2$ 在 $[-1,1]$ 上的最小值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=\cos x\in [-1,1]$，则 $y=t^2-3t+2={\left(t-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$。对称轴 $t=\frac{3}{2}$ 在区间 $[-1,1]$ 右侧，故 $y$ 在 $[-1,1]$ 上单调递减，最小值在 $t=1$ 处取得，为 $1-3+2=0$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦的二次函数最值

核心方法：$y={\cos }^{2}x-3\cos x+2=(\cos x-\frac{3}{2}{)}^2-\frac{1}{4}$，$\cos x\in [-1,1]$ 时最小值在 $\cos x=1$ 处取 $0$，选 B

避坑指南：换元求二次最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二次函数的最值

结论推广：一般地，换元后求闭区间二次最值

方法推广：换元求二次最值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-02 填-三角函数的最值
• 1998-上海理-08 填-分段函数的最值
• 2000-大纲文-17 解-三角最值与图象变换