1991-全国文-21 解-三角函数的最值

本题导读

本题考查三角函数的最值。核心在于通过恒等变形化为辅助角形式求最值。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） 求函数 $y={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

用平方和与二倍角化到 $2+\sin 2x+\cos 2x$，再用辅助角公式。

✅【答案】

Success

$2+\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$y={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)+2\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x=1+\sin 2x+(1+\cos 2x)=2+\sin 2x+\cos 2x=2+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$。当 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=1$ 时取最大值，故 $y_{\max }=2+\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最值

核心方法：$y=2+\sin 2x+\cos 2x=2+\sqrt{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})$，最大 $2+\sqrt{2}$

避坑指南：辅助角公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的最值

结论推广：辅助角 $a\sin x+b\cos x$

方法推广：辅助角公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷文-21 解-三角函数的最值
• 1997-全国卷文-10 单-余弦的二次函数最值
• 1996-全国卷文-08 单-三角函数的最值