1989-全国文-11 单-三角函数的最小值

本题导读

本题考查三角函数的最值，利用换元化为二次函数。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(文)） 如果 $|x|\le \frac{\pi }{4}$，那么函数 $f(x)={\cos }^{2}x+\sin x$ 的最小值是()

A. $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$　　　　　　　　B. $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　　D. $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

令 $t=\sin x$，化为关于 $t$ 的二次函数求最小值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=\sin x$，由 $|x|\le \frac{\pi }{4}$ 得 $-\frac{\sqrt{2}}{2}\le t\le \frac{\sqrt{2}}{2}$。$f(x)=1+t-t^2=\frac{5}{4}-{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2$，开口向下，在闭区间上最小值取端点。$f\left(-\frac{\pi }{4}\right)=1-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$，$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$。故最小值为 $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最小值

核心方法：换元 t=sinx，化为二次函数求最小值。

避坑指南：换元+二次函数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：换元后二次函数求最值。

结论推广：t∈[−√2/2,√2/2]。

方法推广：端点取最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1991-全国文-21 解-三角函数的最值
• 1992-上海-03 填-三角函数的最值
• 1990-广东理-10 单-二次函数的单调区间