1987-全国卷理-09 填-正切函数的周期

本题导读

本题考查正切函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 求函数 $y=\tan \frac{2x}{3}$ 的周期.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回顾基础函数周期： 标准正切函数 $y=\tan x$ 的最小正周期为 $\pi$。
2. 提取自变量系数： 将目标解析式 $y=\tan \frac{2x}{3}$ 改写为 $y=\tan \left(\omega x\right)$ 的标准形式，识别出系数 $\omega =\frac{2}{3}$。
3. 应用周期伸缩公式： 利用通项公式 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$ 直接计算输出。

✅【答案】

Success

$\frac{3\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

因为标准正切函数 $f(x)=\tan x$ 的最小正周期为 $\pi$， 即满足： $\tan (x+\pi )=\tan x\text{(1)}$

对于复合正切函数 $y=\tan \omega x$，其自变量在轴向经历了 $\frac{1}{|\omega |}$ 倍的伸缩变换，其最小正周期 $T$ 满足通用计算公式： $T=\frac{\pi }{|\omega |}\text{(2)}$

将本题函数 $y=\tan \frac{2x}{3}$ 与标准模型对照，提取出自变量 $x$ 的前方系数： $\omega =\frac{2}{3}\text{(3)}$

将式 ③ 代入周期控制方程 ② 中，执行分式有理运算： $T=\frac{\pi }{\frac{2}{3}}=\pi \times \frac{3}{2}=\frac{3\pi }{2}\text{(4)}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正切函数基本周期 $\pi$ 的调用、含有系数的三角函数周期公式 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$。
2. 核心方法：公式法。
3. 避坑指南：
   • 容易与正余弦函数的周期公式混淆：很多同学容易习惯性地套用正弦、余弦函数的周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，从而错误地算出 $\frac{2\pi }{\frac{2}{3}}=3\pi$。必须牢记正切函数的基底周期是 $\pi$ 而不是 $2\pi$。
   • 分式除法注意分子分母位置不要颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高中数学教材《三角函数的周期性》章节的课后基础练习题。其高等数学背景为傅里叶级数（Fourier Series）及一维标量波方程中空间频率（Spatial Frequency）对基波周期的线性缩放作用。
2. 结论推广：对于广义的三角函数系统：
   • 若 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 或 $y=A\cos (\omega x+\phi )$，其最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$；
   • 若 $y=A\tan (\omega x+\phi )$ 或 $y=A\cot (\omega x+\phi )$，其最小正周期为 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

1988-全国文-08 单-余弦函数的最小正周期 1989-全国文-11 单-三角函数的最小值 1990-全国文-16 填-半角公式求值