1990-全国文-16 填-半角公式求值

本题导读

本题考查半角公式求值，以及由角所在区间确定符号。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） 已知 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，那么 $\sin \frac{\alpha }{2}$ 的值等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $\alpha$ 范围确定 $\alpha /2$ 象限，用降幂公式求值。

✅【答案】

Success

$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 得 $\frac{\alpha }{2}\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$，故 $\sin \frac{\alpha }{2}>0$。$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{4}{5}$。${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}=\frac{1+\frac{4}{5}}{2}=\frac{9}{10}$，故 $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式求值

核心方法：由角所在区间确定半角符号，用降幂公式求值。

避坑指南：半角公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角公式注意符号。

结论推广：sin(α/2)=√((1−cosα)/2)。

方法推广：先定象限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1991-三南-07 单-半角公式与符号判断
• 1991-上海-02 填-半角公式与象限符号
• 1992-三南-18 填-半角公式求值