1991-上海-02 填-半角公式与象限符号

本题导读

本题考查半角公式的运用，以及由角所在区间确定半角余弦的符号。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 已知 $\pi <\theta <\frac{3}{2}\pi$，$\cos \theta =-\frac{4}{5}$，则 $\cos \frac{\theta }{2}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $\theta$ 范围确定 $\theta /2$ 所在象限定符号，再用降幂公式。

✅【答案】

Success

$-\frac{\sqrt{10}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\pi <\theta <\frac{3\pi }{2}$ 得 $\frac{\pi }{2}<\frac{\theta }{2}<\frac{3\pi }{4}$，故 $\cos \frac{\theta }{2}<0$。又 ${\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}=\frac{1-\frac{4}{5}}{2}=\frac{1}{10}$，所以 $\cos \frac{\theta }{2}=-\sqrt{\frac{1}{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式与象限符号

核心方法：由角所在象限确定半角的符号，再用降幂公式求半角的余弦。

避坑指南：半角公式+符号判断

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角公式源于二倍角公式的变形。

结论推广：cos(θ/2)=±√((1+cosθ)/2)，符号由 θ/2 所在象限决定。

方法推广：先定符号再套公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1991-三南-07 单-半角公式与符号判断
• 1994-上海-02 填-半角三角函数的求值
• 1996-全国卷文-06 单-半角正切的求值