1996-全国卷文-06 单-半角正切的求值

本题导读

本题考查半角正切公式，以及由已知角所在象限确定三角函数符号。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 已知 $\alpha$ 是第三象限角且 $\sin \alpha =-\frac{24}{25}$，则 $\tan \frac{\alpha }{2}=$ ()

A.$\frac{4}{3}$　　B.$\frac{3}{4}$　　C.$-\frac{3}{4}$　　D.$-\frac{4}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\sin \alpha$ 求 $\cos \alpha$。
2. 用半角正切公式 $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$\alpha$ 在第三象限，$\sin \alpha =-\frac{24}{25}$，则 $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{7}{25}$。$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{-24/25}{1-7/25}=\frac{-24/25}{18/25}=-\frac{4}{3}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角正切的求值

核心方法：$\alpha$ 第三象限且 $\sin \alpha =-\frac{24}{25}$，则 $\cos \alpha =-\frac{7}{25}$；$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{-24/25}{18/25}=-\frac{4}{3}$，选 D

避坑指南：半角正切公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材半角公式

结论推广：一般地，$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$

方法推广：半角正切公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-01 单-诱导公式求特殊角的三角函数值
• 1998-上海文-02 填-三角函数的最值
• 1997-全国卷文-18 填-三角函数的恒等求值