1992-三南-18 填-半角公式求值

本题导读

本题考查半角公式，以及特殊角 $\frac{\pi }{8}$ 的正切求值。

📌【题干】

Question

（1992年三南） $\tan \frac{\pi }{8}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\tan \frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{1-\cos \frac{\pi }{4}}{1+\cos \frac{\pi }{4}}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\sqrt{(\sqrt{2}-1{)}^2}=\sqrt{2}-1$。

✅【答案】

Success

$\sqrt{2}-1$

✍【详细解析】

Abstract

由半角公式 $\tan \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$，取 $x=\frac{\pi }{4}$，得 $\tan \frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{1-\cos \frac{\pi }{4}}{1+\cos \frac{\pi }{4}}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\sqrt{(\sqrt{2}-1{)}^2}=\sqrt{2}-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式求值

核心方法：$\tan \frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{1-\cos \frac{\pi }{4}}{1+\cos \frac{\pi }{4}}}=\sqrt{2}-1$

避坑指南：半角公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角公式求特殊角三角函数

结论推广：$\tan \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$

方法推广：半角公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1994-上海-02 填-半角三角函数的求值
• 1994-全国卷文-04 单-半角三角函数的符号
• 1996-全国卷文-06 单-半角正切的求值