1990-上海卷-05 填-半角公式求值

本题导读

本题考查三角函数的性质（三角形内角范围），以及二倍角公式与半角公式。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 在 $△ABC$ 中，已知 $\cos A=-\frac{3}{5}$，则 $\sin \frac{A}{2}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定角 $A$ 的几何范围：因为 $A$ 是 $△ABC$ 的内角，所以满足 $0<A<\pi$．已知 $\cos A<0$，可进一步判定 $A$ 为钝角，即 $\frac{\pi }{2}<A<\pi$．
2. 推导半角范围确定符号：由 $A$ 的范围推导半角 $\frac{A}{2}$ 的范围为 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$．在这个区间内， $\sin \frac{A}{2}$ 恒为正数。
3. 应用半角公式计算：利用余弦的二倍角公式变形得到的半角公式 $\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}$，代入数值求解。

✅【答案】

Success

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，内角 $A$ 的取值范围为 $(0,\pi )$． 将两边同除以 2，可得半角 $\frac{A}{2}$ 的取值范围为： $\frac{A}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$

因为 $\frac{A}{2}$ 在第一象限，所以其正弦值恒为正数，即： $\sin \frac{A}{2}>0$

根据三角函数的半角公式（或由二倍角公式 $\cos A=1-2{\sin }^2\frac{A}{2}$ 变形），有： $\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}$

将已知条件 $\cos A=-\frac{3}{5}$ 代入公式中： $\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{3}{5}\right)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{4}{5}}$

进行二次根式化简与分母有理化： $\sin \frac{A}{2}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

填空答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦的二倍角公式及其逆向半角变形，大纲中关于三角形内角特定象限的符号法则。
2. 核心方法：公式代入法。处理已知 $\cos \theta$ 求 $\sin \frac{\theta }{2}$ 或 $\cos \frac{\theta }{2}$ 的问题，属于直接套用半角公式的常规基础题。
3. 避坑指南：
   • 开方时误保留负根：若脱离“三角形内角”的实际物理背景，单纯从代数角度开方容易写成 $\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$。必须明确在空间或平面三角形中，半角 $\frac{A}{2}$ 必然是锐角，正弦值绝不可能为负。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角函数与解三角形大类中最基础的恒等变换计算题，直接源自教材中“两角和与差的三角函数”章节中关于二倍角公式延伸应用的课后基础练习。
2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，对于任意内角 $A$，由于 $\frac{A}{2}$ 恒为锐角，其半角公式在开方时无需讨论符号，可直接推广为三个确定性的正数代数链：
   • $\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}$
   • $\cos \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}$
   • $\tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}=\frac{\sin A}{1+\cos A}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1992-三南-18 填-半角公式求值
• 1991-三南-07 单-半角公式与符号判断
• 1991-上海-02 填-半角公式与象限符号