1991-三南-07 单-半角公式与符号判断

本题导读

本题考查半角公式的运用，以及由角所在象限判断三角函数值的符号。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 设 $5\pi <\theta <6\pi$，$\cos \frac{\theta }{2}=a$，那么 $\sin \frac{\theta }{4}$ 等于()

A. $-\sqrt{\frac{1+a}{2}}$　　　　　　　B. $-\sqrt{\frac{1-a}{2}}$　　　　C. $-\sqrt{\frac{1+a}{2}}$　　　　　D. $-\sqrt{\frac{1-a}{2}}$

🔍【思路分析】

破题导航

由 $\theta$ 的范围确定 $\theta /4$ 的象限，再用降幂公式求 $\sin (\theta /4)$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $5\pi <\theta <6\pi$ 得 $\frac{5\pi }{4}<\frac{\theta }{4}<\frac{3\pi }{2}$，故 $\sin \frac{\theta }{4}<0$。又 ${\sin }^2\frac{\theta }{4}=\frac{1-\cos \frac{\theta }{2}}{2}=\frac{1-a}{2}$，所以 $\sin \frac{\theta }{4}=-\sqrt{\frac{1-a}{2}}$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式与符号判断

核心方法：由 5π<θ<6π 得 5π/4<θ/4<3π/2，sin(θ/4)<0；sin²(θ/4)=(1−cos(θ/2))/2=(1−a)/2，故 sin(θ/4)=−√((1−a)/2)。

避坑指南：半角公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角公式使用关键是确定半角所在象限定符号。

结论推广：由角范围定半角范围再定三角符号。

方法推广：降幂公式 sin²、cos² 与半角公式本质相同。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1992-三南-18 填-半角公式求值
• 1994-全国卷文-04 单-半角三角函数的符号
• 1997-上海文-17 解-半角公式与和角公式求值