1988-全国卷理-18 填-半角公式求值

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系，以及半角公式。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 已知 $\sin \theta =-\frac{3}{5}$，$3\pi <\theta <\frac{7\pi }{2}$，求 $\tan \frac{\theta }{2}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $\cos \theta$： 由 $3\pi <\theta <\frac{7\pi }{2}$ 可知 $\theta$ 为第三象限角（绕转一周后），因此 $\cos \theta <0$。利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 求出 $\cos \theta$ 的值。
2. 确定半角范围： 将 $\theta$ 的不等式整体除以 2，得到 $\frac{3\pi }{2}<\frac{\theta }{2}<\frac{7\pi }{4}$，确定 $\frac{\theta }{2}$ 位于第四象限，从而得知 $\tan \frac{\theta }{2}<0$。
3. 公式求解： 利用半角正切公式 $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$ 或 ${\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }$ 计算最终结果。

✅【答案】

Success

$-3$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $3\pi <\theta <\frac{7\pi }{2}$， 所以 $\theta$ 在第三象限，故 $\cos \theta <0$。 根据同角三角函数平方关系： $\cos \theta =-\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=-\sqrt{1-{\left(-\frac{3}{5}\right)}^2}=-\frac{4}{5}$

方法一：利用无理半角公式与象限判定 由 $3\pi <\theta <\frac{7\pi }{2}$ 两边同除以 2 得： $\frac{3\pi }{2}<\frac{\theta }{2}<\frac{7\pi }{4}$ 所以 $\frac{\theta }{2}$ 位于第四象限，由此可知 $\tan \frac{\theta }{2}<0$。

根据半角正切公式： $\tan \frac{\theta }{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}=-\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{1+\left(-\frac{4}{5}\right)}}=-\sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{\frac{1}{5}}}=-\sqrt{9}=-3$

方法二：利用有理半角公式（推荐，免去符号讨论） $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$ 将 $\sin \theta =-\frac{3}{5}$，$\cos \theta =-\frac{4}{5}$ 代入上式得： $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{-\frac{3}{5}}{1+\left(-\frac{4}{5}\right)}=\frac{-\frac{3}{5}}{\frac{1}{5}}=-3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 三角函数的符号法则，倍角与半角公式的互化。
2. 核心方法： * 有理化公式法： 使用 $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$ 或 $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }$ 可以自动自带符号，能有效避免因开方带来的正负号讨论。
3. 避坑指南： * 确定 $\cos \theta$ 时容易丢掉负号。必须根据 $3\pi <\theta <\frac{7\pi }{2}$ 准确判定余弦值为负。
   • 若使用含根号的半角公式，必须精准缩小范围求出 $\frac{\theta }{2}$ 的区间（第四象限），否则容易错填为 $\pm 3$ 或 $+3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于典型的三角恒等变换基础题，源于教材中对倍角公式（万能公式逆用）与各类半角变形公式的考查。
2. 结论推广： 设 $\tan \frac{\theta }{2}=t$，则有万能公式： $\sin \theta =\frac{2t}{1+t^2},\cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}$ 本题若将 $\sin \theta =-\frac{3}{5}$ 代入，得 $\frac{2t}{1+t^2}=-\frac{3}{5}⟹3t^2+10t+3=0⟹(3t+1)(t+3)=0$，解得 $t=-\frac{1}{3}$ 或 $t=-3$。再由 $\cos \theta =-\frac{4}{5}<0⟹1-t^2<0⟹|t|>1$，从而排除了 $-\frac{1}{3}$，锁定 $t=-3$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-26 填-半角公式求值
• 1990-全国文-16 填-半角公式求值
• 1991-三南-07 单-半角公式与符号判断