1990-广东文-26 填-半角公式求值

本题导读

本题考查半角公式求值，注意由角所在区间确定半角的符号。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(文)） 已知 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，那么 $\sin \frac{\alpha }{2}$ 的值等于　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

先由 $\sin \alpha$ 求 $\cos \alpha$，再用半角公式 $\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$。

✅【答案】

Success

$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

因 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，故 $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$。$\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式求值

核心方法：由 α 所在区间确定半角符号，用降幂公式求值。

避坑指南：半角公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角公式注意符号。

结论推广：sin(α/2)=√((1−cosα)/2)。

方法推广：先定象限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-16 填-半角公式求值
• 1991-全国文-01 单-同角三角函数基本关系
• 1992-上海-21 解-两角和与反三角函数